Cho\(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{{(3\tan x + 2\cot x)}^2}dx = a + b\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} +

Câu hỏi số 723638:

Vận dụng

Cho\(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{{(3\tan x + 2\cot x)}^2}dx = a + b\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} + c\dfrac{\pi }{{12}}} (*)\) . Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số nguyên a, b, c thỏa mãn \((*)\). Tổng \(T = a + b + c\) có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723638

Giải chi tiết

\(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{{(3\tan x + 2\cot x)}^2}dx = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}} x + 12 + 4{{\cot }^2}x)} dx\)

\(\begin{array}{l} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}} x + 9)dx + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {(4 + 4{{\cot }^2}x)dx} - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {dx} \\ = 9\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {dx} \end{array}\)

\( = 9\left( {\tan \dfrac{\pi }{3} - \tan \dfrac{\pi }{4}} \right) - 4\left( {\cot \dfrac{\pi }{3} - \cot \dfrac{\pi }{4}} \right) - \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\( = 9\left( {\sqrt 3 - 1} \right) - 4\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - 1} \right) - \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

\( = - 5 + 23\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - 1.\dfrac{\pi }{{12}}\)

Vậy \(a = - 5,b = 23,c = - 1\).

Vậy \(T = a + b + c = 17\)

Đáp án cần điền là: 17

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.