Cho đường tròn \((O;R)\) và điểm \(A \in (O)\). Trên đường tròn \((O)\) lấy ba điểm \(B,C,D\) đôi

Câu hỏi số 724084:

Vận dụng

Cho đường tròn \((O;R)\) và điểm \(A \in (O)\). Trên đường tròn \((O)\) lấy ba điểm \(B,C,D\) đôi một phân biệt sao cho \(AC = AD = R\sqrt 2 \) và \(\angle {CAB} = 60^\circ \). Diện tích tứ giác \(ACBD\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 + 3}}{2}{R^2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{2}{R^2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 + 3}}{2}{R^2}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{2}{R^2}\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Chứng minh DC là đường kính.

Khi đó tam giá\(ADC\)và \(BDC\)vuông, ta lần lượt tính diện tích hai tam giác, sau đó tính diện tích tứ giác \(ACBD\).

Giải chi tiết

Xét tam giác OAD có: \(OA = OD = R,AD = R\sqrt 2 \Rightarrow O{A^2} + O{D^2} = A{D^2} \Rightarrow \Delta OAD\) vuông cân tại O

Suy ra \(\angle {ADC} = 45^\circ \)

Tam giác ACD cân tại A (do \(AC = AD = R\sqrt 2 \)) nên \(\angle {ACD} = \angle {ADC} = 45^\circ \Rightarrow \angle {DAC} = 90^\circ \)

Suy ra D, O, C thẳng hàng.

\({S_{ADC}} = \dfrac{1}{2}.AD.AC = \dfrac{1}{2}.R\sqrt 2 .R\sqrt 2 = {R^2}\)

Tam giác BCD vuông tại B có \(\angle {BDC} = \angle {BAC} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow BD = CD.\cos 60^\circ = 2R.\dfrac{1}{2} = R\)

\(BC = CD.\sin 60^\circ = 2R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_{BDC}} = \dfrac{1}{2}.BD.BC = \dfrac{1}{2}.R.R\sqrt 3 = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{ACBD}} = {S_{ADC}} + {S_{BDC}} = {R^2} + \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{2}{R^2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:724084

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.