Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AD\) và đường phân giác trong \(AO(D,O\)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AD\) và đường phân giác trong \(AO(D,O\) thuộc cạnh \(BC\)). Kẻ \(OM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\), \(ON\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\).
a) Chứng minh bốn điểm \(D,M,N,O\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh \(OM = ON\) và \(\angle {BDM} = \angle {ODN}\).
c) Qua \(O\), kẻ đường thắng vuông góc với \(BC\) cắt \(MN\) tại \(I,AI\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BC\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Ta có \(\angle {AMO} = \angle {ANO} = 90^\circ \) (giả thiết); \(\angle {ADO} = 90^\circ \) (giả thiết).
Tam giác \(AMO\) vuông tại \(M\) nên tam giác \(AMO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AO\).
Tương tự, hai tam giác \(ADO\) và \(ANO\) ngoại tiếp đường tròn đường kính \(AO\).
Suy ra bốn điểm \(D,M,N,O\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AO\).
b) Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta OAN\) có:
AO chung
\(\angle {AMO} = \angle {ANO} = 90^\circ \)
\(\angle {MAO} = \angle {NAO}\) (AO là phân giác)
Suy ra \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Khi đó \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng)
Do tứ giác MDON nội tiếp nên \(\angle {ODN} = \angle {OMN}\) và \(\angle {BDM} = \angle {ONM}\).
Mà \(\angle {ONM} = \angle {OMN}\) (do tam giác \(OMN\) cân tại \(O\) ). Suy ra \(\angle {ODN} = \angle {BDM}\) (đpcm)
c) Qua \(I\), kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(P,Q\).
Ta có: \(\angle {IOP} = \angle {IMP} = \angle {INA},\angle {INA} = \angle {IOQ}\) (vì tứ giác \(OINQ\) nội tiếp).
Suy ra \(\angle {IOP} = \angle {IOQ}\).
Mà \(OI\) vuông góc \(PQ\) nên \(OI\) là trung tuyến của tam giác \(OPQ\).
Ta có \(PQ//BC\) nên \(\dfrac{{IP}}{{KB}} = \dfrac{{AI}}{{AK}} = \dfrac{{IQ}}{{KC}}\).
Mà \(IP = IQ\), suy ra \(KB = KC\).
Vậy \(K\) là trung điểm của \(BC\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
