Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AD\) và đường phân giác trong \(AO(D,O\)

Câu hỏi số 724168:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AD\) và đường phân giác trong \(AO(D,O\) thuộc cạnh \(BC\)). Kẻ \(OM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\), \(ON\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\).
a) Chứng minh bốn điểm \(D,M,N,O\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh \(OM = ON\) và \(\angle {BDM} = \angle {ODN}\).
c) Qua \(O\), kẻ đường thắng vuông góc với \(BC\) cắt \(MN\) tại \(I,AI\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724168

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {AMO} = \angle {ANO} = 90^\circ \) (giả thiết); \(\angle {ADO} = 90^\circ \) (giả thiết).
Tam giác \(AMO\) vuông tại \(M\) nên tam giác \(AMO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AO\).
Tương tự, hai tam giác \(ADO\) và \(ANO\) ngoại tiếp đường tròn đường kính \(AO\).
Suy ra bốn điểm \(D,M,N,O\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(AO\).

b) Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta OAN\) có:

AO chung

\(\angle {AMO} = \angle {ANO} = 90^\circ \)

\(\angle {MAO} = \angle {NAO}\) (AO là phân giác)

Suy ra \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Khi đó \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng)
Do tứ giác MDON nội tiếp nên \(\angle {ODN} = \angle {OMN}\) và \(\angle {BDM} = \angle {ONM}\).
Mà \(\angle {ONM} = \angle {OMN}\) (do tam giác \(OMN\) cân tại \(O\) ). Suy ra \(\angle {ODN} = \angle {BDM}\) (đpcm)

c) Qua \(I\), kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(P,Q\).
Ta có: \(\angle {IOP} = \angle {IMP} = \angle {INA},\angle {INA} = \angle {IOQ}\) (vì tứ giác \(OINQ\) nội tiếp).
Suy ra \(\angle {IOP} = \angle {IOQ}\).

Mà \(OI\) vuông góc \(PQ\) nên \(OI\) là trung tuyến của tam giác \(OPQ\).

Ta có \(PQ//BC\) nên \(\dfrac{{IP}}{{KB}} = \dfrac{{AI}}{{AK}} = \dfrac{{IQ}}{{KC}}\).

Mà \(IP = IQ\), suy ra \(KB = KC\).

Vậy \(K\) là trung điểm của \(BC\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.