Cho phương trình \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0{\mkern 1mu} \)(ẩn x, tham số \(m\)). Tìm \(m\)

Câu hỏi số 724712:

Vận dụng

Cho phương trình \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0{\mkern 1mu} \)(ẩn x, tham số \(m\)). Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm này mang dấu gì?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724712

Phương pháp giải

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta {\rm{ \;}} > 0}\\{\dfrac{c}{a} > 0}\end{array}} \right.\)

Áp dụng hệ thức Viète tính được \({x_1} + {x_2}\)

Giả sử \({x_1} + {x_2} > 0\), nếu điều giả sử đúng thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương còn nếu điều giả sử sai thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.

Giải chi tiết

Phương trình \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta {\rm{ \;}} > 0}\\{\dfrac{c}{a} > 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2m - 1)}^2} - 4.2\left( {m - 1} \right) > 0}\\{\dfrac{{m - 1}}{2} > 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{m^2} - 4m + 1 - 8m + 8 > 0}\\{m - 1 > 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{m^2} - 12m + 9 > 0}\\{m > 1}\end{array}} \right.\)

\(\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(2m - 3)}^2} > 0}\\{m > 1}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 3 \ne 0}\\{m > 1}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne \dfrac{3}{2}}\\{m > 1}\end{array}} \right.\)

Với \(m > 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \ne \dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{2}\)

Giả sử \({x_1} + {x_2} > 0\) hay \(\dfrac{{2m - 1}}{2} > 0\) suy ra \(m > \dfrac{1}{2}\)

Với \(\forall m > 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \ne \dfrac{3}{2}\) thì ta có: \({x_1} + {x_2} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm cùng dương.

Với \({x_1} + {x_2} < 0\) hay \(\dfrac{{2m - 1}}{2} < 0\) suy ra \(m < \dfrac{1}{2}\)

Mâu thuẫn với điều kiện: \(m > 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \ne \dfrac{3}{2}.\)

Vậy với \(m > 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m \ne \dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.