Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) (\(m\) là tham số). Chứng minh

Câu hỏi số 724713:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) (\(m\) là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:724713

Phương pháp giải

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\)) với mọi \(m\)

Áp dụng hệ thức Viète, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\)

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương thì phương trình phải có 2 nghiệm trái dấu.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = {{\left( {m - 1} \right)}^2} - {m^2} + 2m + 8}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 2m + 8 = 9 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m}\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m - 8}\end{array}} \right.\)

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương thì phương trình phải có 2 nghiệm trái dấu

\({x_1}{x_2} < 0\)

\({m^2} - 2m - 8 < 0\)

\({\left( {m - 1} \right)^2} < 9\)

\( - 3 < m - 1 < 3\)

\( - 2 < m < 4\)

Vậy \( - 2 < m < 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.