Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) (\(m\) là tham số). Chứng minh
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2m - 8 = 0\) (\(m\) là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\)) với mọi \(m\)
Áp dụng hệ thức Viète, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\)
Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương thì phương trình phải có 2 nghiệm trái dấu.
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = {{\left( {m - 1} \right)}^2} - {m^2} + 2m + 8}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 2m + 8 = 9 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m}\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).
Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m - 8}\end{array}} \right.\)
Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương thì phương trình phải có 2 nghiệm trái dấu
\({x_1}{x_2} < 0\)
\({m^2} - 2m - 8 < 0\)
\({\left( {m - 1} \right)^2} < 9\)
\( - 3 < m - 1 < 3\)
\( - 2 < m < 4\)
Vậy \( - 2 < m < 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com