Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng \(\left( d \right):y =

Câu hỏi số 725283:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 2mx + 2m + 3$.

a) Chứng minh đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi ${y_1},{y_2}$ lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$. Tìm tất cả các giá trị $m$ để ${y_1} + {y_2} \le 5.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725283

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt khi $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt hay $\Delta ' > 0.$

b) Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị là nghiệm ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}$ của phương trình (*).

Khi đó hai tung độ giao điểm lần lượt là: ${y_1} = 2m{x_1} + 2m + 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_2} = 2m{x_2} + 2m + 3.$

Áp dụng định lý Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{\;}} - \dfrac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right..$

Áp dụng hệ thức bài cho để tìm m.

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là:

$\begin{array}{l}{x^2} = 2mx + 2m + 3\\{x^2} - 2mx - 2m - 3 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\end{array}$

Có: $\Delta ' = {m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$

$ \Rightarrow \left( * \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$

$ \Rightarrow $ $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi ${x_1},{x_2}$ lần lượt là hoành độ hai giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = 2m{x_1} + 2m + 3}\\{{y_2} = 2m{x_2} + 2m + 3}\end{array}} \right.$ và ${x_1},{x_2}$ chính là hai nghiệm của $\left( * \right).$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{\;}} - 2m - 3}\end{array}} \right.$

Theo đề bài ta có: ${y_1} + {y_2} \le 5$

$\begin{array}{*{20}{l}}{2m{x_1} + 2m + 3 + 2m{x_2} + 2m + 3 \le 5}\\{2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4m + 6 \le 5}\\{2m.2m + 4m + 6 - 5 \le 0}\\{4{m^2} + 4m + 1 \le 0}\\{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} \le 0}\end{array}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{do}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\left( {2m + 1} \right)}^2} \ge 0,\forall m \in \mathbb{R}} \right)}\\{m = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}}\end{array}$

Vậy $m = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}$ thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.