Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng \(\left( d \right):y =

Câu hỏi số 725283:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 2mx + 2m + 3$.

a) Chứng minh đường thẳng $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi ${y_1},{y_2}$ lần lượt là tung độ các giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$. Tìm tất cả các giá trị $m$ để ${y_1} + {y_2} \le 5.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725283

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt khi $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt hay $\Delta ' > 0.$

b) Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị là nghiệm ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}$ của phương trình (*).

Khi đó hai tung độ giao điểm lần lượt là: ${y_1} = 2m{x_1} + 2m + 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_2} = 2m{x_2} + 2m + 3.$

Áp dụng định lý Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{\;}} - \dfrac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right..$

Áp dụng hệ thức bài cho để tìm m.

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là:

$\begin{array}{l}{x^2} = 2mx + 2m + 3\\{x^2} - 2mx - 2m - 3 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\end{array}$

Có: $\Delta ' = {m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$

$ \Rightarrow \left( * \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$

$ \Rightarrow $ $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi ${x_1},{x_2}$ lần lượt là hoành độ hai giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = 2m{x_1} + 2m + 3}\\{{y_2} = 2m{x_2} + 2m + 3}\end{array}} \right.$ và ${x_1},{x_2}$ chính là hai nghiệm của $\left( * \right).$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{\;}} - 2m - 3}\end{array}} \right.$

Theo đề bài ta có: ${y_1} + {y_2} \le 5$

$\begin{array}{*{20}{l}}{2m{x_1} + 2m + 3 + 2m{x_2} + 2m + 3 \le 5}\\{2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4m + 6 \le 5}\\{2m.2m + 4m + 6 - 5 \le 0}\\{4{m^2} + 4m + 1 \le 0}\\{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} \le 0}\end{array}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{do}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\left( {2m + 1} \right)}^2} \ge 0,\forall m \in \mathbb{R}} \right)}\\{m = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}}\end{array}$

Vậy $m = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}$ thỏa mãn bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link