Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 725284:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = x - m + 3\)

1) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi \(m = 1.\)

2) Tìm \(m\) để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

3) Với giá trị nào của m thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt \(M({x_1};{y_1})\) và \(N({x_2};{y_2})\) sao cho \({y_1} + {y_1} = 3({x_1} + {x_2}).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725284

Phương pháp giải

1) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng và giải phương trình.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm. Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt, biến đổi biểu thức đề bài cho theo tổng và tích.

3) Áp dụng định lý Viète ta có biểu thức của tổng và tích hai nghiệm thay vào biểu thức đề bài cho tìm m.

Giải chi tiết

1) Khi \(m = 1\) ta có: \((d):y = x + 2\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) khi \(m = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} = x + 2\\{x^2} - x - 2 = 0\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{\;}} - 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = 2 \Rightarrow y = 4}\end{array}.} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi \(m = 1\) là \(A\left( { - 1;{\mkern 1mu} 1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right).\)

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

\(\begin{array}{l}{x^2} = x - m + 3\\{x^2} - x + m - 3 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)\end{array}\)

Có: \(\Delta {\rm{\;}} = 1 - 4(m - 3) = {\rm{\;}} - 4m + 13\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta {\rm{\;}} > 0\)

\(\begin{array}{l} - 4m + 13 > 0\\m < \dfrac{{13}}{4}\end{array}\)

3) \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi \(m < \dfrac{{13}}{4}.\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(M({x_1};{y_1})\) ,\(N({x_2};{y_2})\) suy ra \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của (*)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = x_1^2}\\{{y_2} = x_2^2}\end{array}} \right..\)

Áp dụng định lý Viète ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\) .

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3({x_1} + {x_2})\\x_1^2 + x_2^2 = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\end{array}\\{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}\\{1 - 2(m - 3) = 3 \Leftrightarrow 1 - 2m + 6 = 3}\\\begin{array}{l}2m = 4\\m = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)\end{array}\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.