Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

Câu hỏi số 725316:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725316

Phương pháp giải

+) Xét x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) Với \(x \ne 0\) ta chia 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) để đưa về phương trình bậc thấp hơn sau đó giải phương trình đó để tìm x.

Giải chi tiết

Phương trình: \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0{\rm{\;}}\) (1).
Ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.
Với \(x \ne 0\), ta chia cả 2 vế của phương trình cho ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\)

\(\left( {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\)

\(\;\left( {{x^2} - 2 \cdot x \cdot \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\)

\({\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + 2 = 0{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Đặt \(x - \dfrac{2}{x} = t \Rightarrow \left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\)
Có \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biết: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 1}\\{{t_2} = 2}\end{array}} \right.\).
+) Với \(t = 1\):

\(\begin{array}{l}x - \dfrac{2}{x} = 1\\{x^2} - x - 2 = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}&{\left( {tm} \right)}\\{x = 2}&{\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\).
+) Với \(t = 2\):

\(\begin{array}{l}x - \dfrac{2}{x} = 2\\{x^2} - 2x - 2 = 0\end{array}\)
Có phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 3 }&{\left( {tm} \right)}\\{x = 1 - \sqrt 3 }&{\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\).
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.