Tập nghiệm nguyên của phương trình: \(2{x^4} - 21{x^3} + 74{x^2} - 105x + 50 = 0\) là:

Câu hỏi số 725315:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725315

Phương pháp giải

Xét xem \(x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không.

Với \(x \ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2},\) biến đổi và đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(x + \dfrac{5}{x}\) sau đó đặt ẩn phụ \(t = x + \dfrac{5}{x}.\)

Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) rồi thay lại tìm x.

Giải chi tiết

\(2{x^4} - 21{x^3} + 74{x^2} - 105x + 50 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)

+) Với \(x = 0\) ta có:\(\left( * \right) \Leftrightarrow 50 = 0\) vô lý.

\( \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

+) Với \(x \ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình \(\left( * \right)\) cho \({x^2}\) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 21x + 74 - \dfrac{{105}}{x} + \dfrac{{50}}{{{x^2}}} = 0}\\{2\left( {{x^2} + \dfrac{{25}}{{{x^2}}}} \right) - 21\left( {x + \dfrac{5}{x}} \right) + 74 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\end{array}\)

Đặt \(x + \dfrac{5}{x} = t\) ta có: \({t^2} = {\left( {x + \dfrac{5}{x}} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + \dfrac{{25}}{{{x^2}}} + 2x.\dfrac{5}{x}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {t^2} - 10 = {x^2} + \dfrac{{25}}{{{x^2}}}}\\{\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\left( {{t^2} - 10} \right) - 21t + 74 = 0}\\{2{t^2} - 21t + 54 = 0}\\{\left( {2t - 9} \right)\left( {t - 6} \right) = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t - 9 = 0}\\{t - 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \dfrac{9}{2}}\\{t = 6}\end{array}} \right..}\end{array}\)

+) Với \(t = \dfrac{9}{2}\) ta có: \(x + \dfrac{5}{x} = \dfrac{9}{2}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - 9x + 10 = 0}\\{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5 = 0}\\{x - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{5}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{x = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right..}\end{array}\)

+) Với \(t = 6\) ta có: \(x + \dfrac{5}{x} = 6\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 6x + 5 = 0}\\{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{x - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{x = 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right..}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là: \(S = \left\{ {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.