Trong không gian\(Oxyz\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng 4 nằm trong mặt phẳng

Câu hỏi số 725647:

Vận dụng

Trong không gian\(Oxyz\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính bằng 4 nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\). Hãy viết phương trình mặt cầu chứa đường tròn \(\left( C \right)\) đồng thời cắt trục \(Oz\) tại điểm \(A(0;\,0;\,8)\).

A. \({x^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = 16\)

B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 64\).

C. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {(z - 8)^2} = 32\).

D. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725647

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right)\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\)nên có trục là trục \(Oz\).

Gọi \(I,R\) theo thứ tự là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa đề bài thì ta có

+ \(\left( S \right)\) chứa đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow I \in Oz \Rightarrow I\left( {0;0;c} \right) \Rightarrow d\left( {I,(Oxy)} \right) = IO.\)

+ \(\left( C \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)và \(\left( C \right)\) có bán kính \(r = 4 \Rightarrow R = \sqrt {I{O^2} + {r^2}} = \sqrt {{c^2} + 16} .{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

+ \(\left( S \right)\) cắt trục \(Oz\) tại điểm\(A(0;0;8) \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {8 - c} \right)}^2}} .{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\sqrt {{c^2} + 16} = \sqrt {{{\left( {8 - c} \right)}^2}} \Leftrightarrow c = 3.\)

Như vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {0;0;3} \right)\), bán kính \(R = 5\) thỏa yêu cầu đề bài.

Phương trình của \(\left( S \right)\)là \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.