Trong không gian $Oxyz$ , cho đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính bằng 4 nằm trong mặt phẳng

Câu hỏi số 725647:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính bằng 4 nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tâm là gốc tọa độ $O$ . Hãy viết phương trình mặt cầu chứa đường tròn $\left( C \right)$ đồng thời cắt trục $Oz$ tại điểm $A(0;\,0;\,8)$ .

x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} = 16

${x^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = 16$

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 64

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 64$ .

{(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + (z - 8)^{2} = 32

${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {(z - 8)^2} = 32$ .

x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25

${x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725647

Giải chi tiết

Đường tròn $\left( C \right)$ nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tâm là gốc tọa độ $O$ nên có trục là trục $Oz$ .

Gọi $I,R$ theo thứ tự là tâm và bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa đề bài thì ta có

+ $\left( S \right)$ chứa đường tròn $\left( C \right) \Rightarrow I \in Oz \Rightarrow I\left( {0;0;c} \right) \Rightarrow d\left( {I,(Oxy)} \right) = IO.$

+ $\left( C \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và $\left( C \right)$ có bán kính $r = 4 \Rightarrow R = \sqrt {I{O^2} + {r^2}} = \sqrt {{c^2} + 16} .{\rm{ }}\left( 1 \right)$

+ $\left( S \right)$ cắt trục $Oz$ tại điểm $A(0;0;8) \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {8 - c} \right)}^2}} .{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $\sqrt {{c^2} + 16} = \sqrt {{{\left( {8 - c} \right)}^2}} \Leftrightarrow c = 3.$

Như vậy mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {0;0;3} \right)$ , bán kính $R = 5$ thỏa yêu cầu đề bài.

Phương trình của $\left( S \right)$ là ${x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.