Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng \(1\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần

Câu hỏi số 725648:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng \(1\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(C'D'\) và \(DD'\). Tính thể tích khối tứ diện \(MNPQ\).

A. \(\dfrac{1}{{12}}\).

B. \(\dfrac{1}{8}\).

C. \(\dfrac{3}{8}\).

D. \(\dfrac{1}{{24}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725648

Giải chi tiết

Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có \(D\left( {0;0;0} \right),A\left( {1;0;0} \right),\) \(B\left( {1;1;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),\) \(A'\left( {1;0;1} \right),\) \(B'\left( {1;1;1} \right),\) \(C'\left( {0;1;1} \right),D'\left( {0;0;1} \right)\).

Vì \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(C'D'\) và \(DD'\) nên \(M\left( {1;\dfrac{1}{2};0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right),P\left( {0;\dfrac{1}{2};1} \right),Q\left( {0;0;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {MQ} = \left( { - 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\), \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MQ} = - \dfrac{1}{2}\).

Vậy \({V_{MNPQ}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MQ} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| { - \dfrac{1}{2}} \right| = \dfrac{1}{{12}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.