Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} -

Câu hỏi số 726191:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\), với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

b) Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm giá trị lớn nhất của A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726191

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức A.

b) Rút gọn, phân tích đưa về hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất của A.

Giải chi tiết

a) Thay \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức A ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {\dfrac{{\sqrt 4 {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt 4 {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {4 - 1} \right)}\\{A = \left( {\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{1}} \right).3}\\{A = \dfrac{{4 - 6}}{3}.3}\\{A = {\rm{\;}} - 2}\end{array}\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = {\rm{\;}} - 2\).

b) \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\) , với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

\(A = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x \)

Ta có: \(A = {\rm{\;}} - \left( {x - \sqrt x } \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = {\rm{\;}} - \left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] + \dfrac{1}{4}}\\{A = {\rm{\;}} - {{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}}\end{array}\)

Vì \({\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\) nên \(A \le \dfrac{1}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{\;}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TM} \right)\).

Vậy biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{4}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.