Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} -

Câu hỏi số 726191:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\), với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

b) Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm giá trị lớn nhất của A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726191

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức A.

b) Rút gọn, phân tích đưa về hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất của A.

Giải chi tiết

a) Thay \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức A ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {\dfrac{{\sqrt 4 {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt 4 {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {4 - 1} \right)}\\{A = \left( {\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{1}} \right).3}\\{A = \dfrac{{4 - 6}}{3}.3}\\{A = {\rm{\;}} - 2}\end{array}\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = {\rm{\;}} - 2\).

b) \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\) , với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

\(A = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x \)

Ta có: \(A = {\rm{\;}} - \left( {x - \sqrt x } \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = {\rm{\;}} - \left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] + \dfrac{1}{4}}\\{A = {\rm{\;}} - {{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}}\end{array}\)

Vì \({\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\) nên \(A \le \dfrac{1}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{\;}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TM} \right)\).

Vậy biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{4}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link