Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} -

Câu hỏi số 726191:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\), với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

b) Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm giá trị lớn nhất của A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726191

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức A.

b) Rút gọn, phân tích đưa về hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất của A.

Giải chi tiết

a) Thay \(x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức A ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {\dfrac{{\sqrt 4 {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt 4 {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt 4 {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {4 - 1} \right)}\\{A = \left( {\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{1}} \right).3}\\{A = \dfrac{{4 - 6}}{3}.3}\\{A = {\rm{\;}} - 2}\end{array}\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = {\rm{\;}} - 2\).

b) \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}} \right).\left( {x - 1} \right)\) , với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \left( {x - 1} \right)\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 1} \right)\)

\(A = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x \)

Ta có: \(A = {\rm{\;}} - \left( {x - \sqrt x } \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = {\rm{\;}} - \left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x .\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] + \dfrac{1}{4}}\\{A = {\rm{\;}} - {{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}}\end{array}\)

Vì \({\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\) nên \(A \le \dfrac{1}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{\;}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TM} \right)\).

Vậy biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link