Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} +

Câu hỏi số 726192:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{x - 5\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm \(x\) để \(P < 0.\)

c) Với giá trị nào của \(x\) thì \(\dfrac{1}{P}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726192

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Giải bất phương trình \(P < 0,\) tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

c) Biến đổi biểu thức \(\dfrac{1}{P}\) sau đó tìm GTNN bằng phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

\(\;P = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)

\(\; = \left[ {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right)\)

\(\; = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

Ta có: \(P < 0\)

\(\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} < 0\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} - 2 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0} \right)\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} < 2\) hay \(x < 4\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 \le x < 4\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(0 \le x < 4\) thì \(P < 0.\)

c) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{P} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.\)

Với mọi \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9\) ta có:

\(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 0\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1\)

\(\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le \dfrac{1}{1}\)

\(\dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le 3\)

Suy ra \( - \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 3\) hay \(\dfrac{1}{P} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 2\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi \(\sqrt x {\rm{\;}} = 0 \Leftrightarrow x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right).\)

Vậy \(Min{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{P} = {\rm{\;}} - 2\) khi \(x = 0.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link