Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} +

Câu hỏi số 726192:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{x - 5\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}} \right)\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm \(x\) để \(P < 0.\)

c) Với giá trị nào của \(x\) thì \(\dfrac{1}{P}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726192

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Giải bất phương trình \(P < 0,\) tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

c) Biến đổi biểu thức \(\dfrac{1}{P}\) sau đó tìm GTNN bằng phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

\(\;P = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)

\(\; = \left[ {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right)\)

\(\; = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

Ta có: \(P < 0\)

\(\dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} < 0\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} - 2 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0} \right)\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} < 2\) hay \(x < 4\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 \le x < 4\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(0 \le x < 4\) thì \(P < 0.\)

c) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{P} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.\)

Với mọi \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9\) ta có:

\(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 0\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1\)

\(\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le \dfrac{1}{1}\)

\(\dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le 3\)

Suy ra \( - \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 3\) hay \(\dfrac{1}{P} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 2\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi \(\sqrt x {\rm{\;}} = 0 \Leftrightarrow x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right).\)

Vậy \(Min{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{P} = {\rm{\;}} - 2\) khi \(x = 0.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.