Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}}

Câu hỏi số 726193:

Vận dụng

Cho biểu thức $A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}$ với $x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4.$

a) Chứng minh $A = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}.$

b) Tìm $x$ biết $A = \dfrac{{ - 2}}{3}.$

c) Cho $x$ là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726193

Phương pháp giải

a) Quy đồng, khử mẫu và rút gọn $A$ .

b) Giải phương trình $A = {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}$ , sử dụng kết quả rút gọn câu a).

c) Dựa vào điều kiện bài cho và $x \in \mathbb{Z}$ suy ra điều kiện chính xác của $x$ , từ đó đánh giá $A$ .

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.$

$\;A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}$

$\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}$

$\; = \dfrac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}$

$\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x }}$

$\; = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}$

b) Điều kiện: $x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.$

$A = \dfrac{{ - 2}}{3}$

$\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{3}$

$\sqrt x {\rm{\;}} + 2 = 6$

$\sqrt x {\rm{\;}} = 4$

$x = 16$ (tmđk).

Vậy $x = 16.$

c) Điều kiện: $x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.$

Ta có $x$ nguyên và $x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4$ thì $x \ge 1,{\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} x \in \mathbb{Z}.$

Ta có:

$x \ge 1$

$\sqrt x {\rm{\;}} \ge 1$

$\sqrt x {\rm{\;}} + 2 \ge 3 > 0$

$\dfrac{4}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \le \dfrac{4}{3}$

$\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \ge \dfrac{{ - 4}}{3}$

Khi đó $P \ge \dfrac{{ - 4}}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\dfrac{{ - 4}}{3}$ khi $x = 1.$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.