Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}}

Câu hỏi số 726193:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\) với \(x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4.\)

a) Chứng minh \(A = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}.\)

b) Tìm\(x\) biết \(A = \dfrac{{ - 2}}{3}.\)

c) Cho \(x\) là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726193

Phương pháp giải

a) Quy đồng, khử mẫu và rút gọn \(A\).

b) Giải phương trình \(A = {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}\), sử dụng kết quả rút gọn câu a).

c) Dựa vào điều kiện bài cho và \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra điều kiện chính xác của \(x\), từ đó đánh giá \(A\).

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

\(\;A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}\)

b) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

\(A = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

\(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 2 = 6\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} = 4\)

\(x = 16\) (tmđk).

Vậy \(x = 16.\)

c) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

Ta có \(x\) nguyên và \(x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4\) thì \(x \ge 1,{\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} x \in \mathbb{Z}.\)

Ta có:

\(x \ge 1\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 1\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 2 \ge 3 > 0\)

\(\dfrac{4}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \le \dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \ge \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Khi đó \(P \ge \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{{ - 4}}{3}\) khi \(x = 1.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link