Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}}

Câu hỏi số 726193:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\) với \(x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4.\)

a) Chứng minh \(A = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}.\)

b) Tìm\(x\) biết \(A = \dfrac{{ - 2}}{3}.\)

c) Cho \(x\) là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726193

Phương pháp giải

a) Quy đồng, khử mẫu và rút gọn \(A\).

b) Giải phương trình \(A = {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}\), sử dụng kết quả rút gọn câu a).

c) Dựa vào điều kiện bài cho và \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra điều kiện chính xác của \(x\), từ đó đánh giá \(A\).

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

\(\;A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}\)

b) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

\(A = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

\(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 2 = 6\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} = 4\)

\(x = 16\) (tmđk).

Vậy \(x = 16.\)

c) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

Ta có \(x\) nguyên và \(x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4\) thì \(x \ge 1,{\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} x \in \mathbb{Z}.\)

Ta có:

\(x \ge 1\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 1\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 2 \ge 3 > 0\)

\(\dfrac{4}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \le \dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \ge \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Khi đó \(P \ge \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{{ - 4}}{3}\) khi \(x = 1.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.