Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}}

Câu hỏi số 726193:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\) với \(x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4.\)

a) Chứng minh \(A = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}.\)

b) Tìm\(x\) biết \(A = \dfrac{{ - 2}}{3}.\)

c) Cho \(x\) là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726193

Phương pháp giải

a) Quy đồng, khử mẫu và rút gọn \(A\).

b) Giải phương trình \(A = {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}\), sử dụng kết quả rút gọn câu a).

c) Dựa vào điều kiện bài cho và \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra điều kiện chính xác của \(x\), từ đó đánh giá \(A\).

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

\(\;A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}\)

b) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

\(A = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

\(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 2 = 6\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} = 4\)

\(x = 16\) (tmđk).

Vậy \(x = 16.\)

c) Điều kiện: \(x > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4.\)

Ta có \(x\) nguyên và \(x > 0,{\mkern 1mu} x \ne 4\) thì \(x \ge 1,{\mkern 1mu} x \ne 4,{\mkern 1mu} x \in \mathbb{Z}.\)

Ta có:

\(x \ge 1\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} \ge 1\)

\(\sqrt x {\rm{\;}} + 2 \ge 3 > 0\)

\(\dfrac{4}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \le \dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} \ge \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Khi đó \(P \ge \dfrac{{ - 4}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{{ - 4}}{3}\) khi \(x = 1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link