Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}\) và \(B = \dfrac{8}{{\sqrt x

Câu hỏi số 726231:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}\) và \(B = \dfrac{8}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} - \dfrac{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 26}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\)

a) Tính giá trị biểu thức của \(A\) tại \(x = 9\)

b) Rút gọn B

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726231

Phương pháp giải

a) Với \(x = 9\) thỏa mãn điều kiện, thay vào biểu thức \(A\) để tính.

b) Tìm mẫu thức chung, thực hiện các phép toán các phân thức đại số.

c) Thực hiện phép nhân phân thức đại số, tính \(P = A.B\)

Xác định miền chặn của \(P\)

Từ đó, tìm được giá trị nguyên nhỏ nhất, suy ra giá trị \(x\) cần tìm.

Giải chi tiết

a) Với \(x = 9\) (tmđk), thay vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \dfrac{{\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 2}}{{3\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 1}} = \dfrac{{3 + 2}}{{3.3 + 1}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x = 9\) thì \(A = \dfrac{1}{2}\).

b) \(B = \dfrac{8}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{3\sqrt x + 26}}{{x - 4}}\)

\(B = \dfrac{8}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{3\sqrt x + 26}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{8\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {3\sqrt x + 26} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{8\sqrt x + 16 - 3\sqrt x - 26}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{5\sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \dfrac{{5\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\)

Vậy \(B = \dfrac{5}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}\)

c) \(P = A.B = \dfrac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}.\dfrac{5}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 2}} = \dfrac{5}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}}\)

Vì \(3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1 > 0\) nên \(\dfrac{5}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} > 0\) hay \(P > 0\)

Ta có:

\(x \ge 0\)

\(\sqrt x {\rm{ \;}} \ge 0\)

\(3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1 \ge 1\)

\(\dfrac{1}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} \le 1\)

\(\dfrac{5}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} \le 5\)

Hay \(P \le 5\)

Do đó, \(0 < P \le 5\)

Mà \(P\) là giá trị nguyên nhỏ nhất nên \(P = 1\)

Với \(P = 1\) thì:

\(\dfrac{5}{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} = 1\)

\(3\sqrt x {\rm{ \;}} + 1 = 5\)

\(3\sqrt x {\rm{ \;}} = 4\)

\(\sqrt x {\rm{ \;}} = \dfrac{4}{3}\)

\(x = \dfrac{{16}}{9}\left( {tm} \right)\)

Vậy \(P = A.B\)đạt giá trị nguyên nhỏ nhất khi \(x = \dfrac{{16}}{9}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link