Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\left(

Câu hỏi số 726232:

Vận dụng

Cho biểu thức: $P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 6} \right)}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{6 - \sqrt {4x} }}.$

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $P$ có nghĩa và rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của $x$ sao cho $\sqrt x$ và $P$ là những số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726232

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn.

b) Tách $P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 + 5}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 + \dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.$

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{9 - x \ne 0}\\{6 - \sqrt {4x} {\rm{\;}} \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\\{4x \ne 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\end{array}} \right..$

$\;P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{6 - \sqrt {4x} }}$

$\; = \left[ {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right]:\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{6 - 2\sqrt x }}$

$\; = \dfrac{{3 - \sqrt x + x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} \cdot \dfrac{{2\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x + 1}}$

$\; = \dfrac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{3 + \sqrt x }} \cdot \dfrac{2}{{2\sqrt x + 1}}$

$\; = \dfrac{{{{(\sqrt x + 3)}^2}}}{{3 + \sqrt x }} \cdot \dfrac{2}{{2\sqrt x + 1}}$

$\; = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{2\sqrt x + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x + 6}}{{2\sqrt x + 1}}$

Vậy $P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$ khi $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.$

b) Điều kiện: $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.$

Để $\sqrt x$ là số nguyên thì $x$ phải là số nguyên và là số chính phương.

Ta có: $P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 + 5}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 + \dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.$

Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $\dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {2\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)$ hay $2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \in U\left( 5 \right)$

Mà $U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 5} \right\}$

Với mọi $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9$ ta có: $2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1$

$\Rightarrow 2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \in \left\{ {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}$

Khi đó $x = 0$ ; $x = 4$

Ta thấy $x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}$ thỏa mãn điều kiện $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x$ là số nguyên và là số chính phương.

Vậy $x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}$ thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.