Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\left(

Câu hỏi số 726232:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 6} \right)}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{6 - \sqrt {4x} }}.\)

a) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(P\) có nghĩa và rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt x \) và \(P\) là những số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726232

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn.

b) Tách \(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 + 5}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 + \dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.\)

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{9 - x \ne 0}\\{6 - \sqrt {4x} {\rm{\;}} \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\\{4x \ne 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\end{array}} \right..\)

\(\;P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{6 - \sqrt {4x} }}\)

\(\; = \left[ {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right]:\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{6 - 2\sqrt x }}\)

\(\; = \dfrac{{3 - \sqrt x + x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} \cdot \dfrac{{2\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{3 + \sqrt x }} \cdot \dfrac{2}{{2\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{{{(\sqrt x + 3)}^2}}}{{3 + \sqrt x }} \cdot \dfrac{2}{{2\sqrt x + 1}}\)

\(\; = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{2\sqrt x + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x + 6}}{{2\sqrt x + 1}}\)

Vậy \(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}\) khi \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)

Để \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(x\) phải là số nguyên và là số chính phương.

Ta có: \(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 + 5}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 + \dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {2\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\) hay \(2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \in U\left( 5 \right)\)

Mà \(U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 5} \right\}\)

Với mọi \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9\) ta có: \(2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1\)

\( \Rightarrow 2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \in \left\{ {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}\)

Khi đó \(x = 0\); \(x = 4\)

Ta thấy \(x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x\) là số nguyên và là số chính phương.

Vậy \(x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}\) thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link