Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\left(
Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 6} \right)}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{6 - \sqrt {4x} }}.\)
a) Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(P\) có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt x \) và \(P\) là những số nguyên.
Quảng cáo
a) Quy đồng và rút gọn.
b) Tách \(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 + 5}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 + \dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.\)
a) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{9 - x \ne 0}\\{6 - \sqrt {4x} {\rm{\;}} \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\\{4x \ne 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 9}\end{array}} \right..\)
\(\;P = \left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{6 - \sqrt {4x} }}\)
\(\; = \left[ {\dfrac{1}{{3 + \sqrt x }} + \dfrac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}} \right]:\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{6 - 2\sqrt x }}\)
\(\; = \dfrac{{3 - \sqrt x + x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} \cdot \dfrac{{2\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x + 1}}\)
\(\; = \dfrac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{3 + \sqrt x }} \cdot \dfrac{2}{{2\sqrt x + 1}}\)
\(\; = \dfrac{{{{(\sqrt x + 3)}^2}}}{{3 + \sqrt x }} \cdot \dfrac{2}{{2\sqrt x + 1}}\)
\(\; = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{2\sqrt x + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x + 6}}{{2\sqrt x + 1}}\)
Vậy \(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}\) khi \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)
b) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9.\)
Để \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(x\) phải là số nguyên và là số chính phương.
Ta có: \(P = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \dfrac{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 + 5}}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 + \dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.\)
Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{5}{{2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {2\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)\) hay \(2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \in U\left( 5 \right)\)
Mà \(U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \pm 5} \right\}\)
Với mọi \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9\) ta có: \(2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1\)
\( \Rightarrow 2\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \in \left\{ {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}\)
Khi đó \(x = 0\); \(x = 4\)
Ta thấy \(x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x\) là số nguyên và là số chính phương.
Vậy \(x \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4} \right\}\) thỏa mãn bài toán.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com