Cho biểu thức: \(P\left( x \right) = \dfrac{{x - 3\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\left(

Câu hỏi số 726233:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(P\left( x \right) = \dfrac{{x - 3\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\left( {\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} - 3}} - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} + 2}}} \right).\)

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn \(P\left( x \right)\).

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \(P\left( x \right)\) nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726233

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định. Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(P\left( x \right) = a + \dfrac{b}{{f\left( x \right)}}\) với \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}.\)

Khi đó \(P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in U\left( b \right).\)

Từ đó tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Điều kiện:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5 \ne 0}\\{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} - 3 \ne 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2} \ne 0}\\{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} \ne 3}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 \ne 0}\\{x + 1 \ne 9}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 1}\\{x \ne 8}\end{array}} \right.\)

\(\;P = \dfrac{{x - 3\sqrt x + 2}}{{5x - 10\sqrt x + 5}}\left( {\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right)\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}\left( {\dfrac{{x + 1 - 9}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{x + 1 - 4}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right)\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5{{(\sqrt x - 1)}^2}}}\left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 3} \right)}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right]\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\left[ {\sqrt {x + 1} + 3 - \left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)} \right]\)

\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot 5 = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 8.\)

Ta có: \(P\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}.\)

\( \Rightarrow P\left( x \right) \in \mathbb{Z}\) khi \(\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} \in \mathbb{Z}\) hay \(1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\) suy ra \(\sqrt x {\rm{\;}} - 1 \in U\left( 1 \right)\)

Mà \(U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right\} \Rightarrow \sqrt x {\rm{\;}} - 1 \in \left\{ { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right\}\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 = {\rm{\;}} - 1}\\{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 = 1}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 4\) thỏa mãn bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link