Cho biểu thức: \(P\left( x \right) = \dfrac{{x - 3\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\left(
Cho biểu thức: \(P\left( x \right) = \dfrac{{x - 3\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\left( {\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} - 3}} - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} + 2}}} \right).\)
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn \(P\left( x \right)\).
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \(P\left( x \right)\) nhận giá trị nguyên.
Quảng cáo
a) Tìm điều kiện xác định. Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.
b) Biến đổi biểu thức \(P\left( x \right) = a + \dfrac{b}{{f\left( x \right)}}\) với \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}.\)
Khi đó \(P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in U\left( b \right).\)
Từ đó tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
a) Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5 \ne 0}\\{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} - 3 \ne 0}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2} \ne 0}\\{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} \ne 3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 \ne 0}\\{x + 1 \ne 9}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 1}\\{x \ne 8}\end{array}} \right.\)
\(\;P = \dfrac{{x - 3\sqrt x + 2}}{{5x - 10\sqrt x + 5}}\left( {\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right)\)
\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}\left( {\dfrac{{x + 1 - 9}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{x + 1 - 4}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right)\)
\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5{{(\sqrt x - 1)}^2}}}\left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 3} \right)}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right]\)
\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\left[ {\sqrt {x + 1} + 3 - \left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)} \right]\)
\(\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot 5 = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\)
b) Điều kiện: \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 8.\)
Ta có: \(P\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}.\)
\( \Rightarrow P\left( x \right) \in \mathbb{Z}\) khi \(\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} \in \mathbb{Z}\) hay \(1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\) suy ra \(\sqrt x {\rm{\;}} - 1 \in U\left( 1 \right)\)
Mà \(U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right\} \Rightarrow \sqrt x {\rm{\;}} - 1 \in \left\{ { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right\}\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 = {\rm{\;}} - 1}\\{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 = 1}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy \(x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 4\) thỏa mãn bài toán.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com