Cho biểu thức: \(P\left( x \right) = \dfrac{{x - 3\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\left(

Câu hỏi số 726233:

Vận dụng

Cho biểu thức: $P\left( x \right) = \dfrac{{x - 3\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\left( {\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} - 3}} - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} + 2}}} \right).$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn $P\left( x \right)$ .

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ sao cho $P\left( x \right)$ nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726233

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định. Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức $P\left( x \right) = a + \dfrac{b}{{f\left( x \right)}}$ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}.$

Khi đó $P\left( x \right) \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in U\left( b \right).$

Từ đó tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Điều kiện:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{5x - 10\sqrt x {\rm{\;}} + 5 \ne 0}\\{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} - 3 \ne 0}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2} \ne 0}\\{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} \ne 3}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 \ne 0}\\{x + 1 \ne 9}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x \ne 1}\\{x \ne 8}\end{array}} \right.$

$\;P = \dfrac{{x - 3\sqrt x + 2}}{{5x - 10\sqrt x + 5}}\left( {\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right)$

$\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}\left( {\dfrac{{x + 1 - 9}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{x + 1 - 4}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right)$

$\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5{{(\sqrt x - 1)}^2}}}\left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 3} \right)}}{{\sqrt {x + 1} - 3}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 1} + 2}}} \right]$

$\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\left[ {\sqrt {x + 1} + 3 - \left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)} \right]$

$\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}} \cdot 5 = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}$

b) Điều kiện: $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 8.$

Ta có: $P\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}.$

$\Rightarrow P\left( x \right) \in \mathbb{Z}$ khi $\dfrac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} \in \mathbb{Z}$ hay $1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)$ suy ra $\sqrt x {\rm{\;}} - 1 \in U\left( 1 \right)$

Mà $U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right\} \Rightarrow \sqrt x {\rm{\;}} - 1 \in \left\{ { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right\}$

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 = {\rm{\;}} - 1}\\{\sqrt x {\rm{\;}} - 1 = 1}\end{array}} \right.$ suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.$

Vậy $x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 4$ thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.