Xét biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x

Câu hỏi số 726615:

Vận dụng

Xét biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0\).

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị lớn nhất của A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726615

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

2) \(A = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

1) Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: \(x \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x + 1 - x - \sqrt x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x - x} \right) + \left( { - \sqrt x - \sqrt x + 3\sqrt x } \right) + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\end{array}\)

2) Tính giá trị lớn nhất của A.

ĐK: \(x \ge 0\)

\(A = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\dfrac{1}{2}\sqrt x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \dfrac{1}{4}\) (TM)

Khi đó \(A = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4} - \sqrt {\dfrac{1}{4}} + 1}} = \dfrac{4}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{4}{3}\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link