Xét biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x

Câu hỏi số 726615:

Vận dụng

Xét biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0\).

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị lớn nhất của A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726615

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

2) \(A = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

1) Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: \(x \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x + 1 - x - \sqrt x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x - x} \right) + \left( { - \sqrt x - \sqrt x + 3\sqrt x } \right) + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\end{array}\)

2) Tính giá trị lớn nhất của A.

ĐK: \(x \ge 0\)

\(A = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\dfrac{1}{2}\sqrt x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \dfrac{1}{4}\) (TM)

Khi đó \(A = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4} - \sqrt {\dfrac{1}{4}} + 1}} = \dfrac{4}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{4}{3}\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.