Xét biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x

Câu hỏi số 726615:

Vận dụng

Xét biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0\).

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị lớn nhất của A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726615

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

2) \(A = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

1) Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: \(x \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{x + 5\sqrt x + 4}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x + 1 - x - \sqrt x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x - x} \right) + \left( { - \sqrt x - \sqrt x + 3\sqrt x } \right) + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\end{array}\)

2) Tính giá trị lớn nhất của A.

ĐK: \(x \ge 0\)

\(A = \dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x - \sqrt x + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(x - \sqrt x + 1 = x - 2.\dfrac{1}{2}\sqrt x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \dfrac{1}{4}\) (TM)

Khi đó \(A = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4} - \sqrt {\dfrac{1}{4}} + 1}} = \dfrac{4}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{4}{3}\) khi \(x = \dfrac{1}{4}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link