1) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số).a) Tìm tất cả

Câu hỏi số 726616:

Vận dụng

1) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho

\(\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m} \right)\left( {2{x_1} - 5} \right) = 2024.{\rm{\;}}\)

2) Giải phương trình \({x^2} + 5x - 4 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x - 1} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726616

Giải chi tiết

1) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình ban đầu có \(a.c < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m - 5 < 0\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\end{array}\)

Vậy với \(m < \dfrac{5}{2}\) thì phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho

\(\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m} \right)\left( {2{x_1} - 5} \right) = 2024.{\rm{\;}}\)

Ta có \(\Delta ' = {(m - 1)^2} - (2m - 5) = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5 = {m^2} + 6 > 0\) với mọi giá trị của \(m\)

Khi đó phương trình ban đầu luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo hệ thức vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\)

Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình ban đầu nên:

\(x_2^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 2m - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow x_2^2 - 2m{x_2} + 2{x_2} + 2m - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow x_2^2 - 2m{x_2} + 2m = 5 - 2{x_2}\)

Thay \(x_2^2 - 2m{x_2} + 2m = 5 - 2{x_2}\) vào \(\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m} \right)\left( {2{x_1} - 5} \right) = 2024\), ta có:

\((5 - 2{x_2})(2{x_1} - 5) = 2024\)

\( \Leftrightarrow 10{x_1} - 4{x_1}{x_2} - 25 + 10{x_2} = 2024\)

\( \Leftrightarrow 10({x_1} + {x_2}) - 4{x_1}{x_2} - 25 = 2024\)

\( \Leftrightarrow 10.2(m - 1) - 4(2m - 5) - 25 = 2024\)

\( \Leftrightarrow 20(m - 1) - 4(2m - 5) - 25 - 2024 = 0\)

\( \Leftrightarrow 20m - 20 - 8m + 20 - 25 - 2024 = 0\)

\( \Leftrightarrow 12m - 2049 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{683}}{4}\)

Vậy \(m = \dfrac{{683}}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho \(\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m} \right)\left( {2{x_1} - 5} \right) = 2024.{\rm{\;}}\)

2) Giải phương trình \({x^2} + 5x - 4 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x - 1} = 0\).

ĐKXĐ: \(x \ge \dfrac{1}{3}\)

\({x^2} + 5x - 4 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x - 1} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + 3x - 5 - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x - 1} = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + (3x - 1) - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x - 1} = 4\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} - 2\left( {x + 1} \right)\sqrt {3x - 1} + (3x - 1) = 4\)

\( \Leftrightarrow {[(x + 1) - \sqrt {3x - 1} ]^2} = 4\)

TH1: \((x + 1) - \sqrt {3x - 1} = 2\)

\( \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt {3x - 1} \)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 3x - 1\) (\(x \ge 1\))

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 3x - 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 - \sqrt {17} }}{2}\,\,(l)\\x = \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{2}\,\,(tm)\end{array} \right.\)

TH2: \((x + 1) - \sqrt {3x - 1} = - 2\)

\( \Leftrightarrow x + 3 = \sqrt {3x - 1} \)

\( \Leftrightarrow {(x + 3)^2} = 3x - 1\) (\(x \ge 3\))

\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 3x - 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 10 = 0\) (vô nghiệm vì \({x^2} + 3x + 10 > 0\forall x \ge 3\))

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{2}} \right\}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.