1) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số).a) Tìm tất cả

Câu hỏi số 726662:

Vận dụng

1) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho \(T = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải phương trình \(\sqrt {x - 2} - \sqrt {x + 2} = 2\sqrt {{x^2} - 4} - 2x + 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726662

Giải chi tiết

1) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (với \(m\) là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình ban đầu có \(a.c < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m - 5 < 0\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\end{array}\)

Vậy với \(m < \dfrac{5}{2}\) thì phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho \(T = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(\Delta ' = {(m - 1)^2} - (2m - 5) = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5 = {m^2} + 6 > 0\) với mọi giá trị của \(m\)

Khi đó phương trình ban đầu luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Theo hệ thức vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\)

Ta có:

\(T = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\)

\(T = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - 4{x_1}{x_2}\)

\(T = {[2(m - 1)]^2} - 6{x_1}{x_2}\)

\(T = 4({m^2} - 2m + 1) - 6(2m - 5)\)

\(T = 4{m^2} - 8m + 4 - 12m + 30\)

\(T = 4{m^2} - 20m + 34\)

\(T = 4\left( {{m^2} - 5m + \dfrac{{17}}{2}} \right)\)

\(T = 4\left( {{m^2} - 2.\dfrac{5}{2}m + \dfrac{{25}}{4} + \dfrac{9}{4}} \right)\)

\(T = 4{\left( {m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + 9\)

Vì \(4{\left( {m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\) nên \(T = 4{\left( {m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + 9 \ge 9\,\,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m - \dfrac{5}{2} = 0\) hay \(m = \dfrac{5}{2}\)

Vậy với \(m = \dfrac{5}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) sao cho \(T = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải phương trình \(\sqrt {x - 2} - \sqrt {x + 2} = 2\sqrt {{x^2} - 4} - 2x + 2\).

ĐKXĐ: \(x \ge 2\)

Đặt \(t = \sqrt {x - 2} - \sqrt {x + 2} \) (\(t < 0\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 2x - 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} = 2x - 2\sqrt {{x^2} - 4} \\pt \Leftrightarrow t = - {t^2} + 2\\ \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {ktm} \right)\\t = - 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\t = - 2 \Rightarrow \sqrt {x - 2} - \sqrt {x + 2} = - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} + 2 = \sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow x - 2 + 2\sqrt {x - 2} + 4 = x + 2\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ 2 \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link