Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x

Câu hỏi số 726857:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với \(x > 0,x \ne 25\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 81\).

b) Cho\(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\)

c) So sánh \(P\) và \({P^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726857

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 81\) vào biểu thức \(A\) để tính giá trị

b) Rút gọn hai biểu thức\(A\) và B sau đó nhân chúng vào với nhau và rút gọn.

c) Xét hiệu \(P - {P^2}\) để so sánh.

Giải chi tiết

1) Với\(x = 81\,\,(tm)\) ta có\(A = \dfrac{{\sqrt {81} {\rm{\;}} - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\).

Vậy với \(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{4}{9}\).

2) Với \(x > 0,x \ne 25\), ta có:

\(\;B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\)

\(\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\)

Xét \(P = A \cdot B = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\)

Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\).

3) Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\).

Nhận thấy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x {\rm{\;}} + 2 > 0\;\forall x > 0}\\{\sqrt x {\rm{\;}} + 5 > 0\;\forall x > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\). (1)

Xét \(1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} = \dfrac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5 - \left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}}\).

Vì \(\sqrt x {\rm{\;}} + 5 > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\). (2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\).

Vậy \(P > {P^2}\) với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link