Cho tam giác nhọn \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của ba đường cao \(AD,BE\) và CF của tam giác.a)
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của ba đường cao \(AD,BE\) và CF của tam giác.
a) Chứng minh bốn điểm \(B,F,E,C\) cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm \(O\) và bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh \(AF.AB = AE.AC\)
c) Đường thẳng FD cắt đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh \(EK \bot BC\)
Quảng cáo
a) Xét các tam giác vuông để chứng minh từng bộ 3 điểm thuộc 1 đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh tam giác đồng dạng.
c) Chứng EK song song với AD, từ đó kết luận \(EK \bot BC\).
a) Vì \(BE \bot AC;\,\,CF \bot AB\) nên \(\Delta BEC\) và \(\Delta BFC\) vuông.
\(\Delta BEC\) vuông tại E nên B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC.
\(\Delta BFC\) vuông tại F nên B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC.
Gọi O là trung điểm của BC
Khi đó bốn điểm \(B,F,E,C\) cùng thuộc một đường tròn tâm O, bán kính OB.
b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:
\(\angle {BAC}\) chung
\(\angle {AEB} = \angle {AFC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\Delta ABE\)~\(\Delta ACF\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}\) hay \(AF.AB = AE.AC\) (đpcm)
c) Vì \(AD \bot BC;\,\,CF \bot AB\) nên \(\Delta ADC\) và \(\Delta AFC\) vuông.
\(\Delta ADC\) vuông tại D nên A, D, C thuộc đường tròn đường kính AC.
\(\Delta AFC\) vuông tại F nên A, F, C thuộc đường tròn đường kính AC.
Khi đó bốn điểm A, D, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Suy ra \(\angle {DFC} = \angle {CAD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
Xét đường tròn (O) có \(\angle {CFK} = \angle {CEK}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC)
Từ đó \(\angle {CEK} = \angle {CAD}\)
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên AD // EK
Lại có \(AD \bot BC\) nên \(EK \bot BC\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
