Tìm \(m\) đề hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = {m^2} + 2}\\{3x + 5y =

Câu hỏi số 727592:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) đề hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = {m^2} + 2}\\{3x + 5y = 2{m^2}}\end{array}} \right.\) ( \(m\) là tham số) có nghiệm \((x;y)\) sao cho giá trị \(x + y\) là nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:727592

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm nghiệm của hệ phương trình theo tham số;

Bước 2. Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình mới chỉ chứa tham số;

Bước 3. Giải phương trình chứa tham số và kết luận.

Giải chi tiết

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được hệ phương trình mới \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 3y = 3{m^2} + 6}\\{3x + 5y = 2{m^2}}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ mới thu được ta có \((3x + 3y) - \) \((3x + 6y) = 3{m^2} + 6 - 2{m^2}\), hay \( - 3y = {m^2} + 6\). Suy ra \(y = - \dfrac{{{m^2} + 6}}{3}\).

Thay \(y = - \dfrac{{{m^2} + 6}}{3}\) vào phương trình \(x + y = {m^2} + 2\) ta được \(x + \) \(\left( { - \dfrac{{{m^2} + 6}}{3}} \right) = {m^2} + 2\), suy ra \(x = {m^2} + 2 - \left( { - \dfrac{{{m^2} + 6}}{3}} \right) = \dfrac{{4{m^2} + 12}}{3}\).

Khi đó \(x + y = \dfrac{{4{m^2} + 12}}{3} + \left( { - \dfrac{{{m^2} + 6}}{3}} \right) = \dfrac{{3{m^2} + 6}}{3} = {m^2} + 2\)

Ta có \({m^2} \ge 0\) với mọi giá trị của \(m\), nên \({m^2} + 2 \ge 2\), tức là \(x + y \ge 2\).

Dấu bằng xảy ra khi \(m = 0\).

Vậy \(x + y\) nhỏ nhất là đạt giá trị bằng 2 tại \(m = 0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link