Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , đáy là tam giác đều cạnh $a,$ $AA' = AB' = AC' = a.$ Thể tích khối

Câu hỏi số 728636:

Vận dụng

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , đáy là tam giác đều cạnh $a,$ $AA' = AB' = AC' = a.$ Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728636

Giải chi tiết

Ta thấy $A.A'B'C'$ là tứ diện đều cạnh $a.$

Mà ${V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A.A'B'C'}}$

Gọi $H$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$ .

Thì $AH$ là đường cao của hình chóp $A.A'B'C'$ .

Ta có $A'H = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Tam giác $AA'H$ vuông tại $H$ nên:

$A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{6{a^2}}}{9} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$ .

Diện tích tam giác $A'B'C'$ là: $S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ nên thể tích khối tứ diện $AA'B'C'$ là:

${V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}AH.S = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = 3.{V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.