Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), đáy là tam giác đều cạnh \(a,\) \(AA' = AB' = AC' = a.\) Thể tích khối

Câu hỏi số 728636:

Vận dụng

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), đáy là tam giác đều cạnh \(a,\) \(AA' = AB' = AC' = a.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng.

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728636

Giải chi tiết

Ta thấy \(A.A'B'C'\) là tứ diện đều cạnh \(a.\)

Mà \({V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{A.A'B'C'}}\)

Gọi \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A'B'C'\).

Thì \(AH\) là đường cao của hình chóp \(A.A'B'C'\).

Ta có \(A'H = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\) nên:

\(A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{6{a^2}}}{9} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Diện tích tam giác \(A'B'C'\) là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) nên thể tích khối tứ diện \(AA'B'C'\) là:

\({V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}AH.S = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \(V = 3.{V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.