Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $\Delta ABC$ đều cạnh $a,\,$ \(AA' =

Câu hỏi số 728637:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $\Delta ABC$ đều cạnh $a,\,$ $AA' = a\sqrt 3 ,$ $M$ là trung điểm của $CC'$ . Tính khoảng cách từ điểm $\,{\rm{C'}}$ đến mặt phẳng $\,\left( {A'BM} \right).$

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$ .

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

$\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}$ .

$\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728637

Giải chi tiết

Gọi $E = AC \cap A'M$ , vì $M$ là trung điểm của $CC'$ nên dễ thấy $C$ là trung điểm của $AE$ .

Ta có, $d\left( {C',\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {C,\,\left( {A'BM} \right)} \right)$ $= \dfrac{1}{2}d\left( {A\,,\,\left( {A'BM} \right)} \right)$

Áp dụng định lí cosin cho $\Delta ABE$ ta có:

$B{E^2} = A{B^2} + A{E^2} - 2.AB.AE.\cos 60^\circ = 3{a^2} \Rightarrow BE = a\sqrt 3 .$

Xét tam giác $ABE$ có $A{B^2} + B{E^2} = A{E^2} \Rightarrow \Delta ABE$ vuông tại $B \Rightarrow AB \bot BE.$

Kẻ $AH \bot A'B\,\,\left( 1 \right)$ , khi đó $BE \bot AB,\,BE \bot AA'$

$\Rightarrow BE \bot \left( {ABA'} \right) \Rightarrow BE \bot AH\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có $d\left( {A,\left( {A'BM} \right)} \right) = AH$

Lại có $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{{A'}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{3\,{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vậy $d\left( {C';\,\left( {A'BM} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.