Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a,\,\)\(AA' =

Câu hỏi số 728637:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a,\,\)\(AA' = a\sqrt 3 ,\)\(M\)là trung điểm của \(CC'\). Tính khoảng cách từ điểm \(\,{\rm{C'}}\) đến mặt phẳng \(\,\left( {A'BM} \right).\)

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728637

Giải chi tiết

Gọi \(E = AC \cap A'M\), vì \(M\)là trung điểm của \(CC'\) nên dễ thấy \(C\) là trung điểm của \(AE\).

Ta có, \(d\left( {C',\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {C,\,\left( {A'BM} \right)} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}d\left( {A\,,\,\left( {A'BM} \right)} \right)\)

Áp dụng định lí cosin cho \(\Delta ABE\)ta có:

\(B{E^2} = A{B^2} + A{E^2} - 2.AB.AE.\cos 60^\circ = 3{a^2} \Rightarrow BE = a\sqrt 3 .\)

Xét tam giác \(ABE\)có \(A{B^2} + B{E^2} = A{E^2} \Rightarrow \Delta ABE\)vuông tại \(B \Rightarrow AB \bot BE.\)

Kẻ \(AH \bot A'B\,\,\left( 1 \right)\), khi đó \(BE \bot AB,\,BE \bot AA'\)

\( \Rightarrow BE \bot \left( {ABA'} \right) \Rightarrow BE \bot AH\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có \(d\left( {A,\left( {A'BM} \right)} \right) = AH\)

Lại có \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{{A'}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{3\,{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(d\left( {C';\,\left( {A'BM} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.