Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán

Câu hỏi số 732376:

Vận dụng

Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính 8cm . Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn sao cho diện tích của tấm bia được cắt ra là lớn nhất. Giả trị lớn nhất của diện tích tấm bìa đó là bao nhiêu centimét vuông?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 64

Xem lời giải

Câu hỏi:732376

Giải chi tiết

Gọi \(x(\mathrm{~cm})\) là độ dải một cạnh của tấm giấy hinh chữ nhật được cắt ra (cạnh thuộc đường kính) và \(y(\mathrm{~cm})\) là độ dài cạnh còn lại \((0<x<16,0<y<8)\). Ta có:

\(\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+y^2=8^2 \Leftrightarrow y^2=\dfrac{1}{4}\left(256-x^2\right) \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2} \sqrt{256-x^2}\)

Diện tích của tấm giấy hình chữ nhật là:

\(S=x y=x \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{256-x^2}=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^2\left(256-x^2\right)}\left(\mathrm{cm}^2\right)\)

Đặt \(f(x)=x^2\left(256-x^2\right)\) với \(0<x<16\), có

\(f^{\prime}(x)=512 x-4 x^3\) nên \(f^{\prime}(x)=0\) khi \(x=8 \sqrt{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) bằng:

\(\dfrac{1}{2} \sqrt{f(8 \sqrt{2})}=64\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.