Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí.

Câu hỏi số 733212:

Vận dụng

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\) \(\dfrac{1}{10}\left(-x^3+9 x^2-15 x+56\right)\). Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100 m (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016).

Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y=-1,5x+18\). Người ta đự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhắt. Hoành độ của điểm để xây dựng bến thuyền này bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:733212

Giải chi tiết

Xét điểm \(M(x ; f(x))\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f(x)=\dfrac{1}{10}\left(-x^3+9 x^2-15 x+56\right)\) với \(0 \leq x \leq 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M(x ; f(x))\) đến đường thẳng \(y=-1,5 x+18 \Leftrightarrow-1,5 x-y+18=0\) là

\(MH=\dfrac{\left|-1,5 x-\dfrac{1}{10}\left(-x^3+9 x^2-15 x+56\right)+18\right|}{\sqrt{(-1,5)^2+1}}=\dfrac{\left|x^3-9 x^2+124\right|}{10 \sqrt{3,25}}.\)

Ta khảo sát hàm số \(h(x)=x^3-9 x^2+124\) với \(0 \leq x \leq 8\).

\(h^{\prime}(x)=3 x^2-18x\)

\(h^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 x^2-18 x=0 \Leftrightarrow x=0 \text { hoặc } x=6.\)

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có:

\(h(x)>0\) với \(0 \leq x \leq 8\);

\(\min _{[0 ; 8]} h(x)=h(6)=16 \text { tại } x=6\)

Do đó,

\(\min M H=\min_{[0 ; 8]} \dfrac{\left|x^3-9 x^2+124\right|}{10 \sqrt{3,25}}\)

\(=\dfrac{\min _{[0 ; 8]} h(x)}{10 \sqrt{3,25}}=\dfrac{16}{10 \sqrt{3,25}}\approx 0,8875\) và đạt được tại \(x=6\).

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.