Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí.

Câu hỏi số 733212:

Vận dụng

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\) \(\dfrac{1}{10}\left(-x^3+9 x^2-15 x+56\right)\). Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100 m (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-I, Cornelsen 2016).

Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y=-1,5x+18\). Người ta đự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhắt. Hoành độ của điểm để xây dựng bến thuyền này bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Xem lời giải

Câu hỏi:733212

Giải chi tiết

Xét điểm \(M(x ; f(x))\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f(x)=\dfrac{1}{10}\left(-x^3+9 x^2-15 x+56\right)\) với \(0 \leq x \leq 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M(x ; f(x))\) đến đường thẳng \(y=-1,5 x+18 \Leftrightarrow-1,5 x-y+18=0\) là

\(MH=\dfrac{\left|-1,5 x-\dfrac{1}{10}\left(-x^3+9 x^2-15 x+56\right)+18\right|}{\sqrt{(-1,5)^2+1}}=\dfrac{\left|x^3-9 x^2+124\right|}{10 \sqrt{3,25}}.\)

Ta khảo sát hàm số \(h(x)=x^3-9 x^2+124\) với \(0 \leq x \leq 8\).

\(h^{\prime}(x)=3 x^2-18x\)

\(h^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 x^2-18 x=0 \Leftrightarrow x=0 \text { hoặc } x=6.\)

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có:

\(h(x)>0\) với \(0 \leq x \leq 8\);

\(\min _{[0 ; 8]} h(x)=h(6)=16 \text { tại } x=6\)

Do đó,

\(\min M H=\min_{[0 ; 8]} \dfrac{\left|x^3-9 x^2+124\right|}{10 \sqrt{3,25}}\)

\(=\dfrac{\min _{[0 ; 8]} h(x)}{10 \sqrt{3,25}}=\dfrac{16}{10 \sqrt{3,25}}\approx 0,8875\) và đạt được tại \(x=6\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.