Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1 = 0\) và \(\left( Q \right): - 2x + y + 4z - 3 = 0\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| 1) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song mặt phẳng \(\left( Q \right).\) |
||
| 2) Mặt phẳng \(\left( R \right)\)có phương trình \(14x + 8y + 5z - 2 = 0\) cùng vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\) | ||
| 3) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 6y + 4z - 9 = 0\) song song mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1 = 0\) và cách mặt phẳng \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 1. | ||
| 4) Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {2; - 2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {8;4;3} \right)\). |
Đáp án đúng là: 1S, 2Đ, 3S, 4Đ
a) Sai: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1;4} \right)\)
Vì hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1;4} \right)\) của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không cùng phương.
Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) không song song mặt phẳng \(\left( Q \right).\)
b) Đúng: Mặt phẳng \(\left( R \right)\) cùng vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1;4} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 14; - 8; - 5} \right)\) hay chọn \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {14;8;5} \right)\)
Vậy mặt phẳng \(\left( R \right)\)có phương trình \(14x + 8y + 5z - 2 = 0\) cùng vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)
c) Sai: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2; - 6;4} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\alpha }} = 2.\overrightarrow {{n_P}} \\ - 9 \ne 2.( - 1)\end{array} \right.\) nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Lấy điểm \(M\left( {1;0;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1 = 0\).
Lại có
\(d\left( {M,mp\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}\)
Nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách mặt phẳng \(\left( P \right)\) một khoảng bằng \(\dfrac{{\sqrt {14} }}{4}\)
d) Đúng: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;0} \right)\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1;4} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {2; - 2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có cặp vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \). Do đó mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {8;4;3} \right)\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
