Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\). Chứng minh biểu thức \(M = {x_1}\left( {1 -

Câu hỏi số 743296:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\). Chứng minh biểu thức \(M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc vào \(m\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:743296

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Viète và thay giá trị của \({x_1} + {x_2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1}{x_2}\) vào biểu thức \(M\) rồi biến đổi để chứng minh nó không phụ thuộc vào \(m\).

Giải chi tiết

2) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(m + 1)^2} - m + 4\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2m + 1 - m + 4\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + m + 5\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} > 0\,\,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2(m + 1) = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = m - 4}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)}\\{M = {x_1} - {x_1}{x_2} + {x_2} - {x_1}{x_2}}\\{M = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}}\\{M = \left( {2m + 2} \right) - 2.\left( {m - 4} \right)}\\{M = 2m + 2 - 2m + 8}\\{M = 10}\end{array}\)

Vậy biểu thức \(M = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc vào \(m\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link