Giải phương trình \(\sqrt {\dfrac{{1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}} }}{2}} = 1 - 2{x^2}\)

Câu hỏi số 759412:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759412

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ

- Sử dụng hằng đẳng thức

- Bình phương hai vế

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} \ge 0\\1 - 2{x^2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Với \( - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) thì \(x + \sqrt {1 - {x^2}} \ge 0\)

Ta có: \(1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1 - {x^2} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} + {x^2} = {\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2}\)

Khi đó phương trình trở thành

\(\sqrt {\dfrac{{{{\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}}}{2}} = 1 - 2{x^2}\)

\(\dfrac{{x + \sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt 2 }} = 1 - 2{x^2}\)

\(x + \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 2 \left( {1 - 2{x^2}} \right)\)

\(x + \sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt 2 \left( {1 - {x^2} - {x^2}} \right) = 0\)

\(x + \sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt 2 \left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x} \right)\left( {\sqrt {1 - {x^2}} + x} \right) = 0\)

\(\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 - \sqrt 2 \left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x} \right)} \right) = 0\)

\(\left[ \begin{array}{l}x + \sqrt {1 - {x^2}} = 0 & & & \left( 1 \right)\\1 - \sqrt 2 \left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x} \right) = 0 & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1) ta có

\(x + \sqrt {1 - {x^2}} = 0\)

\(\sqrt {1 - {x^2}} = - x\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\1 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

\(x = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {TM} \right)\)

Giải (2) ta có

\(1 - \sqrt 2 \left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x} \right) = 0\)

\(1 - \sqrt {2\left( {1 - {x^2}} \right)} + x\sqrt 2 = 0\)

\(x\sqrt 2 + 1 = \sqrt {2\left( {1 - {x^2}} \right)} \)

\(2{x^2} + 2x\sqrt 2 + 1 = 2\left( {1 - {x^2}} \right)\)

\(4{x^2} + 2x\sqrt 2 - 1 = 0\)

\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}\,\,\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{ - \sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}} \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link