Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh

Câu hỏi số 759933:

Vận dụng

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\dfrac{3}{2}\)chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt 3 \pi \,\,\left( {d{m^3}} \right)\). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

A. \(\dfrac{{46}}{5}\sqrt 3 \pi \,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

B. \(18\sqrt 3 \pi \,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

C. \(\dfrac{{46}}{3}\sqrt 3 \pi \,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

D. \(18\pi \,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759933

Phương pháp giải

Đưa bài toán về tính thể tích hình nón bằng cách xác định bán kính, chiều cao và áp dụng công thức.

Giải chi tiết

Xét một thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ.

Hình thang cân \(ABCD\) (\(IJ\) là trục đối xứng) là thiết diện của cái thùng nước, hình tròn tâm \(I\) bán kính \(IH\) là thiết diện của khối cầu. Các đường thẳng \(AD\), \(BC\), \(IJ\) đồng qui tại \(E\).

Đặt bán kính của khối cầu là \(IH = R\), bán kính mặt đáy của thùng là \(JD = r\), chiều cao của thùng là \(IJ = h\). Ta có

\(\dfrac{2}{3}\pi {R^3} = 54\sqrt 3 \pi \Leftrightarrow R = 3\sqrt 3 \),

\(\dfrac{3}{2}h = 2R = 6\sqrt 3 \Leftrightarrow h = 4\sqrt 3 \).

\(\dfrac{{EJ}}{{EI}} = \dfrac{{JC}}{{IB}} = \dfrac{r}{{3r}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow EJ = 2\sqrt 3 \),

\(\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{I{A^2}}} + \dfrac{1}{{I{E^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{1}{{9{r^2}}} + \dfrac{1}{{108}} \Leftrightarrow r = 2\).

Suy ra thể tích của thùng nước là \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi I{A^2}.IE - \dfrac{1}{3}\pi J{D^2}.JE = \dfrac{{208\sqrt 3 \pi }}{3}\).

Vậy thể tích nước còn lại trong thùng là \(V = \dfrac{{208\sqrt 3 \pi }}{3} - 54\sqrt 3 \pi = \dfrac{{46\sqrt 3 \pi }}{3}\,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.