Số các số tự nhiên \(y{\rm{ }}\left( {y \le 2025} \right)\) thỏa mãn bất phương

Câu hỏi số 767275:

Vận dụng cao

Số các số tự nhiên \(y{\rm{ }}\left( {y \le 2025} \right)\) thỏa mãn bất phương trình:

\(2 + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {y - 1} \right) \le {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {{x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} + 24} \right]\)

nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2022

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767275

Phương pháp giải

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 1 > 0{\rm{ }}}\\{{x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} + 24 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y > 1{\rm{ }}}\\{{{\left( {3 + y} \right)}^2} - \left( {2{y^2} + 24} \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow y > 1} \right..\)

Ta có: \(2 + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {y - 1} \right) \le {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {{x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} + 24} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {3\left( {y - 1} \right)} \right] \le {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {{x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} + 24} \right]\\ \Leftrightarrow 3\left( {y - 1} \right) \le {x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} + 24\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} - 3y + 27 \ge 0\end{array}\)

Bất phương trình đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {y + 3} \right)^2} - \left( {2{y^2} - 3y + 27} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - {y^2} + 9y - 18 \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y \le 3\\y \ge 6\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(y > 1\) và \(y \le 2025\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}1 < y \le 3\\6 \le y \le 2025\end{array} \right.\)

Vậy có 2022 giá trị của \(y\) thỏa mãn.

Đáp án: 2022

Đáp án cần điền là: 2022

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.