Cho \(x > 0,y > 0,z > 0,{\mkern 1mu} x + y + z = 3\). Chứng minh rằng: \(S = \sqrt {{x^2} + xy + {y^2}}

Câu hỏi số 769196:

Vận dụng cao

Cho \(x > 0,y > 0,z > 0,{\mkern 1mu} x + y + z = 3\).

Chứng minh rằng: \(S = \sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + yz + {z^2}} + \sqrt {{z^2} + zx + {z^2}} \ge 3\sqrt 3 \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769196

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức trong căn về dạng \(m{\left( {x + y} \right)^2} + n{\left( {x - y} \right)^2} \ge m{\left( {x + y} \right)^2}\) rồi khai căn, sau đó cộng 2 vế của các bất đẳng thức rồi suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho.

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2} + xy + {y^2} = \dfrac{{3{{(x + y)}^2} + {{(x - y)}^2}}}{4} \ge \dfrac{{3{{(x + y)}^2}}}{4}\)

Suy ra: \(\sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + y} \right)\)

Chứng minh tương tự: \(\sqrt {{y^2} + yz + {z^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {y + z} \right)\) (2) ; \(\sqrt {{z^2} + zx + {x^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {z + x} \right)\)(3)

Từ (1) (2) (3), suy ra \(S \ge \sqrt 3 (x + y + z) = 3\sqrt 3 \).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1\).

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link