Cho ba số dương \(a,b,{\mkern 1mu} c\)thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 769236:

Vận dụng cao

Cho ba số dương \(a,b,{\mkern 1mu} c\)thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769236

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\), suy ra \(\dfrac{{ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{4}\)

Tương tự với \(\dfrac{{bc}}{{b + c}}\) và \(\dfrac{{ca}}{{c + a}}\). Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của P.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

Suy ra \(\dfrac{{ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{4}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{{bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{4};\dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{4}\)

Suy ra: \(P = \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b}}{4} + \dfrac{{b + c}}{4} + \dfrac{{c + a}}{4} = \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \dfrac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(\dfrac{1}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link