Cho \(x,y,z > 0\) và \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 12\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P =

Câu hỏi số 769248:

Vận dụng

Cho \(x,y,z > 0\) và \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 12\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{x + 2y + z}} + \dfrac{1}{{x + y + 2z}}\).

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769248

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}},\forall a,b > 0\).

Giải chi tiết

Ta chứng minh bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}},\forall {\rm{a}},{\rm{b}} > 0\left( * \right)\).

Thật vậy ( *) \( \Leftrightarrow \dfrac{{a + b}}{{ab}} \ge \dfrac{4}{{a + b}} \Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\), (luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Áp dụng (*) ta có: \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} = \dfrac{1}{{(x + y) + (x + z)}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{{(x + y) + (x + z)}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}} \right)\).

Tiếp tục áp dụng (*) ta có: \(\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}} \right) = \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{{x + y}} + \dfrac{4}{{x + z}}} \right) \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)

Do đó: \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Tương tự ta có: \(\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) và \(\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có:

\(\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{x + 2y + z}} + \dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right)\)

Suy ra \(P \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}.12 = 3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x = y = z = \dfrac{1}{4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link