Cho các số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{ab}}{{a + b + 2c}} + \dfrac{{bc}}{{b + c + 2a}}

Câu hỏi số 769250:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{ab}}{{a + b + 2c}} + \dfrac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \dfrac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \dfrac{1}{4}(a + b + c)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769250

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\)với mọi \(a,b > 0\)

Giải chi tiết

Ta chứng minh: \(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\) với mọi \(a,b > 0\)

Thật vậy với mọi \(a,b > 0\) ta có:

\(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{{4ab}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Áp dụng ta được: \(\dfrac{{ab}}{{a + b + 2c}} = \dfrac{{ab}}{{b + c + c + a}} \le \dfrac{{ab}}{4}\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{ab}}{{b + c}} + \dfrac{{ab}}{{a + c}}} \right)\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{{bc}}{{b + c + 2a}} \le \dfrac{2}{4}\left( {\dfrac{{bc}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{c + a}}} \right)\); \(\dfrac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{ca}}{{a + b}} + \dfrac{{ca}}{{b + c}}} \right)\)

Cộng 2 vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{{ab}}{{a + b + 2c}} + \dfrac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \dfrac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{ab + ca}}{{b + c}} + \dfrac{{bc + ab}}{{c + a}} + \dfrac{{ca + bc}}{{a + b}}} \right)\)

\(\dfrac{{ab}}{{a + b + 2c}} + \dfrac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \dfrac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {a + b + c} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link