Cho \(x,y,z > 0\). Chứng minh rằng: \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} +

Câu hỏi số 769252:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z > 0\). Chứng minh rằng: \(\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + \dfrac{1}{{{z^3}}}} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{z + x}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769252

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức: \({a^3} + {b^3} \ge ab(a + b),\forall a,b \ge 0\) và bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

+) Ta chứng minh bất đẳng thức: \({a^3} + {b^3} \ge ab(a + b),\forall a,b \ge 0\left( * \right)\).

Thật vậy \(\left( * \right) \Leftrightarrow (a + b)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab(a + b) \ge 0 \Leftrightarrow (a + b)\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (a + b){(a - b)^2} \ge 0\) (luôn đúng). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Áp dụng \(\left( * \right)\) ta có: \({x^3} + {y^3} \ge xy(x + y)\)

\({y^3} + {z^3} \ge yz(y + z)\)

\({z^3} + {x^3} \ge zx(z + x)\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: \(2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \ge xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x),\left( 1 \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(\dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + \dfrac{1}{{{z^3}}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{x^3}{y^3}{z^3}}}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + \dfrac{1}{{{z^3}}} \ge \dfrac{3}{{xyz}},\left( 2 \right)\).

Nhân vế theo vế \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có: \(2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + \dfrac{1}{{{z^3}}}} \right) \ge \dfrac{3}{{xyz}}[xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)]\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} + \dfrac{1}{{{z^3}}}} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{y + z}}{x} + \dfrac{{z + x}}{y} + \dfrac{{x + y}}{z}} \right)\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link