Cho \(a \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {a^2} + \dfrac{{18}}{a}\)

Câu hỏi số 769303:

Vận dụng

A. 36

B. 32

C. 39

D. 38

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769303

Phương pháp giải

Ta có: \(A = {a^2} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a}\)

Chọn điểm rơi \(a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{k} = \dfrac{9}{a}\\\dfrac{9}{a} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{36}}{k} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow k = 24\).

Khi đó ta có: \(A = \dfrac{{{a^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{{23{a^2}}}{{24}}\) rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ 3 số \(\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{24}};\dfrac{9}{a};\dfrac{9}{a}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(A = {a^2} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} = \dfrac{{{a^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{{23{a^2}}}{{24}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: \(\dfrac{{{a^2}}}{{24}} + \dfrac{9}{a} + \dfrac{9}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{a^2}}}{{24}}.\dfrac{9}{a}.\dfrac{9}{a}}} = 3.\dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}\)

Mà \(a \ge 6\) nên \(\dfrac{{23{a^2}}}{{24}} \ge \dfrac{{23.36}}{{24}} = \dfrac{{69}}{2}\)

Suy ra \(A \ge \dfrac{9}{2} + \dfrac{{69}}{2} = 39\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 39.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link