Cho hai số thực \(x,{\mkern 1mu} y\) thỏa mãn \(x \ge 3;y \ge 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 769306:

Vận dụng

Cho hai số thực \(x,{\mkern 1mu} y\) thỏa mãn \(x \ge 3;y \ge 3\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T = 21\left( {x + \dfrac{1}{y}} \right) + 3\left( {y + \dfrac{1}{x}} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769306

Phương pháp giải

Ta có: \(T = 21x + \dfrac{{21}}{y} + 3y + \dfrac{3}{x}\)

Chọn điểm rơi \(x = y = 3\). Khi đó:

\(x = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{m} = \dfrac{3}{x}\\\dfrac{3}{x} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{3}{m} = 1 \Rightarrow m = 3\); \(y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{y}{k} = \dfrac{{21}}{y}\\\dfrac{{21}}{y} = 7\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{3}{k} = 7 \Rightarrow k = \dfrac{3}{7}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left( {\dfrac{x}{3};\dfrac{3}{x}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{7y}}{3};\dfrac{{21}}{y}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(T = \dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{x} + \dfrac{{7y}}{3} + \dfrac{{21}}{y} + \dfrac{{62x}}{3} + \dfrac{{2y}}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{3}.\dfrac{3}{x}} = 2\)

\(\dfrac{{7y}}{3} + \dfrac{{21}}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{{7y}}{3} + \dfrac{{21}}{y}} = 2.7 = 14\)

Mà \(x \ge 3;y \ge 3\) nên \(\dfrac{{62x}}{3} \ge \dfrac{{62.3}}{3} = 62;\dfrac{{2y}}{3} \ge \dfrac{{2.3}}{3} = 2\)

Suy ra \(T \ge 2 + 14 + 62 + 2 = 80\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link