Cho \(a,{\mkern 1mu} b\) là các số dương thỏa mãn \(a + b = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(M =

Câu hỏi số 769313:

Vận dụng

Cho \(a,{\mkern 1mu} b\) là các số dương thỏa mãn \(a + b = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(M = \dfrac{3}{{4ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)

A. \(\dfrac{5}{4}\)

B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(1\)

D. \(\dfrac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769313

Phương pháp giải

Chọn điểm rơi tại \(a = b = 1\). Viết lại: \(M = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{m} + \left( {\dfrac{3}{{4ab}} + nab} \right) - nab - \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{m}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{m} \Rightarrow m = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = 4\); \(\dfrac{3}{{4ab}} = nab \Rightarrow n = \dfrac{3}{{4{{\left( {ab} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left( {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}},\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{1}{{ab}},ab} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(M = \dfrac{3}{{4ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{4} + \dfrac{3}{4}\left( {\dfrac{1}{{ab}} + ab} \right) - \dfrac{{ab}}{4} - \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{4} \ge 2.\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}.\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} = 1\)

\(\dfrac{1}{{ab}} + ab \ge 2.\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}.ab} = 2\)

\(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{2^2}}}{4} = 1\)

Suy ra \(M \ge 1 + \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4} - 1 = \dfrac{5}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\dfrac{5}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link