Cho \(x,{\mkern 1mu} y,{\mkern 1mu} z\) là các số dương thoả mãn \(x + y + z = 1\). Chứng minh rằng:

Câu hỏi số 769319:

Vận dụng cao

Cho \(x,{\mkern 1mu} y,{\mkern 1mu} z\) là các số dương thoả mãn \(x + y + z = 1\).

Chứng minh rằng: \(\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + \sqrt {y\left( {1 - y} \right)} + \sqrt {z\left( {1 - z} \right)} \le \sqrt 2 \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769319

Phương pháp giải

Dự đoán điểm rơi tại \(x = y = z = \dfrac{1}{3}\). Từ đó ta có: \(2x = 2y = 2z = 1 - x = 1 - y = 1 - z = \dfrac{2}{3}\). Vì bất đẳng thức chứa căn bậc hai nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left( {2x,1 - x} \right);\left( {2y,1 - y} \right)\) và \(\left( {2z,1 - z} \right)\) rồi cộng hai vế của các bất đẳng thức thu được.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} = \dfrac{{\sqrt {2x\left( {1 - x} \right)} }}{{\sqrt 2 }} \le \dfrac{{x + 1}}{{2\sqrt 2 }}\)

\(\sqrt {y\left( {1 - y} \right)} = \dfrac{{\sqrt {2y\left( {1 - y} \right)} }}{{\sqrt 2 }} \le \dfrac{{y + 1}}{{2\sqrt 2 }}\)

\(\sqrt {z\left( {1 - z} \right)} = \dfrac{{\sqrt {2z\left( {1 - z} \right)} }}{{\sqrt 2 }} \le \dfrac{{z + 1}}{{2\sqrt 2 }}\)

Suy ra \(\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + \sqrt {y\left( {1 - y} \right)} + \sqrt {z\left( {1 - z} \right)} \le \dfrac{{x + y + z + 3}}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)(đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = \dfrac{1}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link