a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^{3} - 9n + 54$ không chia hết cho

Câu hỏi số 780348:

Vận dụng

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^{3} - 9n + 54$ không chia hết cho 81.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $P = \sqrt{n + 6} + \sqrt{n + 3\sqrt{n + 6}}$ là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780348

Phương pháp giải

a) Giả sử $\left. n^{3} - 9n + 54 \vdots 81\Rightarrow n^{3} - 9n + 54 \vdots 9 \right.$. Từ đó chứng minh và kết luận.

b) Tách P ban đầu thành $~P^{2} + 6 = \left( {2P + 3} \right) \cdot \sqrt{n + 6}$.

Giải chi tiết

a) Giả sử $\left. n^{3} - 9n + 54 \vdots 81\Rightarrow n^{3} - 9n + 54 \vdots 9 \right.$

$\left. ~\Rightarrow n^{3} \vdots 9\Rightarrow n \vdots 9\Rightarrow n^{3} \vdots 81\Rightarrow n^{3} - 9n \vdots 81 \right.$

Mà 54 không chia hết cho 81

$\left. \Rightarrow n^{3} - 9n + 54 \ \right.$ không chia hết cho 81 (vô lý)

Vậy $n^{3} - 9n + 54 $ không chia hết cho 81

b) $P = \sqrt{n + 6} + \sqrt{n + 3\sqrt{n + 6}}$

$\left. ~\Rightarrow P - \sqrt{n + 6} = \sqrt{n + 3\sqrt{n + 6}} \right.$

$\left. ~\Rightarrow P^{2} - 2P\sqrt{n + 6} + n + 6 = n + 3\sqrt{n + 6} \right.$

$\left. ~\Rightarrow P^{2} + 6 = \left( {2P + 3} \right) \cdot \sqrt{n + 6} \right.$

Vì $P \in {\mathbb{N}}^{\text{*}},n \in {\mathbb{N}}$

$\left. ~\Rightarrow\sqrt{n + 6} \in {\mathbb{Z}}\Rightarrow P^{2} + 6 \vdots 2P + 3 \right.$

$\left. ~\Rightarrow 4P^{2} + 24 \vdots 2P + 3\Rightarrow{(2P)}^{2} - 3^{2} + 33 \vdots 2P + 3 \right.$

$\left. ~\Rightarrow 33 \vdots 2P + 3\Rightarrow 2P + 3 = 33 \right.$ (vì $P > 4$)

$\left. ~\Rightarrow P = 15 \right.$

$\left. \Rightarrow\sqrt{n + 6} = 7\Rightarrow n = 43 \right.$

Vậy $n = 43$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link