a) Giải phương trình $12x^{2} - 2x - 1 = x\sqrt{2x + 1}$.b) Trên một đường tròn, lấy 2024 điểm phân

Câu hỏi số 780349:

Vận dụng

a) Giải phương trình $12x^{2} - 2x - 1 = x\sqrt{2x + 1}$.
b) Trên một đường tròn, lấy 2024 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẽ nhau. Mỗi điểm được gán với một giá trị là một số thực khác không, giá trị của mỗi điểm màu xanh bằng tổng giá trị của hai điểm màu đỏ kề với nó, giá trị của mỗi điểm màu đỏ bằng tích giá trị của hai điểm màu xanh kề với nó. Tính tổng giá trị của 2024 điểm trên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780349

Phương pháp giải

a) Đặt $\sqrt{2x + 1} = t \geq 0$
Khi đó phương trình trở thành $12x^{2} - xt - t^{2} = 0$
b) Trên đường tròn sẽ có 1012 điểm được tô màu xanh và 1012 điểm được tô màu đỏ.

Xét 10 điểm liên tiếp bất kỳ trên đường tròn với điểm đầu tiên là xanh.
Ta gọi 5 giá trị trên 5 điểm màu xanh là $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ và 5 giá trị trên 5 điểm màu đỏ là $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}$.
Đặt $a_{1} = x,b_{1} = y\left( {x,y \neq 0} \right)$.

Giải chi tiết

a) Giải phương trình $12x^{2} - 2x - 1 = x\sqrt{2x + 1}$

Điều kiện $\left. 2x + 1 \geq 0\Leftrightarrow x \geq \dfrac{- 1}{2} \right.$

Đặt $\sqrt{2x + 1} = t \geq 0$
Khi đó phương trình trở thành $12x^{2} - xt - t^{2} = 0$
Nếu $\left. t = 0\Rightarrow x = 0(L) \right.$
Nếu $\left. t \neq 0\Rightarrow PT\Leftrightarrow 12\left( \dfrac{x}{t} \right)^{2} - \dfrac{x}{t} - 1 = 0\Leftrightarrow 12m^{2} - m - 1 = 0 \right.$ (đặt $m = \dfrac{x}{t}$ )
Ta có $\text{Δ} = 1^{2} - 4.12.\left( {- 1} \right) = 49 > 0$
Nên PT có 2 nghiệm phân biệt $m_{1} = \dfrac{1 + 7}{24} = \dfrac{1}{3}$; $m_{2} = \dfrac{1 - 7}{24} = \dfrac{- 1}{4}$

Với $\left. m_{1} = \dfrac{1}{3}\Rightarrow t = 3x\Rightarrow\sqrt{2x + 1} = 3x\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {x \geq 0} \\ {9x^{2} = 2x + 1} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {9x^{2} - 2x - 1 = 0} \end{array} \end{matrix} \right. \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{1 + \sqrt{10}}{9}} \\ {x = \dfrac{1 - \sqrt{10}}{9}\,(l)} \end{array} \right. \right.$

Với $\left. m_{2} = - \dfrac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{2x + 1} = - 4x\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {- \dfrac{1}{2} \leq x \leq 0} \\ {16x^{2} - 2x - 1 = 0} \end{matrix}\Leftrightarrow x = \dfrac{1 - \sqrt{17}}{16}\text{~(tm)~} \right. \right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x \in \left\{ {\dfrac{1 + \sqrt{10}}{9};\dfrac{1 - \sqrt{17}}{16}} \right\}$

b) Trên đường tròn sẽ có 1012 điểm được tô màu xanh và 1012 điểm được tô màu đỏ.

Vì giá trị của mỗi điểm màu đỏ bằng tích giá trị của hai điểm màu xanh kề với nó nên

$a_{2} = \dfrac{b_{1}}{a_{1}} = \dfrac{y}{x};a_{3} = \dfrac{b_{2}}{a_{2}} = \dfrac{a_{2} - b_{1}}{a_{2}} = 1 - x;a_{4} = \dfrac{b_{3}}{a_{3}} = \dfrac{x - y}{x};a_{5} = \dfrac{b_{4}}{a_{4}} = x = a_{1}$

$b_{2} = a_{2} - b_{1} = \dfrac{y}{x} - y = \dfrac{y\left( {1 - x} \right)}{x};b_{3} = a_{2} - b_{2} = 1 - x - \dfrac{y\left( {1 - x} \right)}{x} = \dfrac{\left( {1 - x} \right)\left( {x - y} \right)}{x};$

$b_{4} = a_{3} - b_{3} = x - y;b_{5} = a_{4} - b_{4} = y = b_{1}$

Như vậy từ một điểm màu xanh hoặc đỏ bất kỳ thì sau 4 điểm giá trị của nó sẽ lặp lại
Ta có $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = x + \dfrac{y}{x} + 1 - x + \dfrac{x - y}{x} = 2$

$b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} = y + \dfrac{y}{x} - y + 1 - \left( {\dfrac{y}{x} - y} \right) + x - y = 1$

Tổng của các giá trị điểm màu xanh là $\left( {1012:4} \right) \cdot 2 = 506$
Tổng của các giá trị điểm màu đỏ là $\left( {1012:4} \right).1 = 253$
Vậy tổng của 2024 điểm là $506 + 253 = 759$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link