Cho các số thực dương $x,y,z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3}

Câu hỏi số 780351:

Vận dụng

Cho các số thực dương $x,y,z$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{\left| {x^{3} - y^{3}} \right| + \left| {y^{3} - z^{3}} \right| + \left| {z^{3} - x^{3}} \right|}{3xyz}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780351

Phương pháp giải

Ta phân tích M $= \left( {\dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{2x^{3}}{3xyz}} \right) - \dfrac{2z^{3}}{3xyz}$

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z > 0$ thì

$M = \dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{\left| {x^{3} - y^{3}} \right| + \left| {y^{3} - z^{3}} \right| + \left| {z^{3} - x^{3}} \right|}{3xyz}$

$= \dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{x^{3} - y^{3} + y^{3} - z^{3} + x^{3} - z^{3}}{3xyz}$

$M = \dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{2x^{3} - 2z^{3}}{3xyz}$

$= \left( {\dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{2x^{3}}{3xyz}} \right) - \dfrac{2z^{3}}{3xyz}$

$M \geq N = \left\lbrack {\dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} + \dfrac{\dfrac{2}{3}\left( {x^{3} + y^{3} + z^{3}} \right)}{3xyz}} \right\rbrack - \dfrac{2xyz}{3xyz}$

$M \geq N \geq 2\sqrt{\dfrac{2xyz}{x^{3} + y^{3} + z^{3}} \cdot \dfrac{\dfrac{2}{3}\left( {x^{3} + y^{3} + z^{3}} \right)}{3xyz}} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$

$\left. \text{Min}(M) = \dfrac{2}{3}\Leftrightarrow x = y = z > 0 \right.$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link