Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 4~cm,BC = 4\sqrt{3}~cm$. Đường
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 4~cm,BC = 4\sqrt{3}~cm$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ ($E$ khác $B$ và $F$ khác $C$). Gọi $H$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng $OA\bot EF$.
c) Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AI,AJ$ tới đường tròn đường kính $BC\,\,(I,J$ là các tiếp điểm).
Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( {O,R} \right)$ tại $K\,\,(K$ khác $A)$. Tính $\dfrac{HI \cdot HJ}{HK}$.
Quảng cáo
a) Chứng minh $BHCL$ là hình bình hành
Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\left. \Delta AHL\Rightarrow OM = \dfrac{AH}{2} \right.$
Ta có $\Delta OMC$ có $\left. \widehat{OMC} = 90^{0}\Rightarrow OM^{2} = 4^{2} - 4.3 = 4\Rightarrow OM = 2 \right.$
b) Vẽ tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $(O)$.
Chứng minh $\left. \widehat{AEF} = \widehat{xAB}\Rightarrow Ax \parallel EF \right.$
Mà $\left. OA\bot Ax\Rightarrow OA\bot EF \right.$
Vậy $OA\bot EF$
c) Ta có $B;I;E;F;J;C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.
Suy ra $HI \cdot HJ = HB \cdot HF$
Mà $\Delta AHF$ đồng dạng $\left. \Delta BHD\Rightarrow HB \cdot HF = HD \cdot HA \right.$
Suy ra $\dfrac{HI \cdot HJ}{HK} = \dfrac{HB \cdot HF}{HK} = \dfrac{HD \cdot HA}{HK} = \dfrac{HA}{2} = OM\,\,(*)$
a) Xét tứ giác $AEHF$ có $\widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 180^{0}$
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
Nên tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn.
Vì tam giác $AEH$ vuông tại $E$ Nên tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.
Vẽ đường kính $AL$ của $(O)$
Suy ra $BHCL$ là hình bình hành
Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\left. \Delta AHL\Rightarrow OM = \dfrac{AH}{2} \right.$
Ta có $\Delta OMC$ có $\left. \widehat{OMC} = 90^{0}\Rightarrow OM^{2} = 4^{2} - 4.3 = 4\Rightarrow OM = 2 \right.$
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$ bằng 2 cm.
b) Vẽ tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $(O)$.
Ta có $\widehat{xAB} = \widehat{ACB}\left( {= \dfrac{1}{2}sdcungAB} \right)$
Mà $\widehat{AEF} = \widehat{ACB}($ BEFC $nt)$
$\left. \Rightarrow\widehat{AEF} = \widehat{xAB}\Rightarrow Ax \parallel EF \right.$
Mà $\left. OA\bot Ax\Rightarrow OA\bot EF \right.$
Vậy $OA\bot EF$
c) Ta có $B;I;E;F;J;C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.
Suy ra $HI \cdot HJ = HB \cdot HF$
Mà $\Delta AHF$ đồng dạng $\left. \Delta BHD\Rightarrow HB \cdot HF = HD \cdot HA \right.$
Suy ra $\dfrac{HI \cdot HJ}{HK} = \dfrac{HB \cdot HF}{HK} = \dfrac{HD \cdot HA}{HK} = \dfrac{HA}{2} = OM\,\,(*)$
Ta có $\Delta BHK$ cân tại $\left. B\Rightarrow HD = DK\Rightarrow HD = \dfrac{HK}{2} \right.$
Mà $OM = 2\text{~cm}$
Từ đó suy ra $\dfrac{HI \cdot HJ}{HK} = 2$
Vậy $\dfrac{HI \cdot HJ}{HK} = 2$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
