Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{3} - y^{3} = 91$.

Câu hỏi số 787411:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787411

Phương pháp giải

Đưa về phương trình ước số dạng $AB = k$.

Giải chi tiết

Ta có: $\left( {x - y} \right)\left( {x^{2} + xy + y^{2}} \right) = 13.7 = 1.91$

Vì $x$, y nguyên nên $x - y,x^{2} + xy + y^{2}$ nguyên

Mà $x^{2} + xy + y^{2} > 0$ với mọi x, y nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $\left\{ \begin{array}{l} {x - y = 13} \\ {x^{2} + xy + y^{2} = 7} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 13} \\ {x^{2} + x\left( {x - 13} \right) + \left( {x - 13} \right)^{2} = 7} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 13} \\ {3x^{2} - 39x + 162 = 0\left( \text{VN} \right)} \end{array} \right.$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l} {x - y = 7} \\ {x^{2} + xy + y^{2} = 13} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 7} \\ {x^{2} + x\left( {x - 7} \right) + \left( {x - 7} \right)^{2} = 13} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 7} \\ {3x^{2} - 21x + 36 = 0} \end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = - 3} \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = - 4} \end{array} \right.$

TH3: $\left\{ \begin{array}{l} {x - y = 1} \\ {x^{2} + xy + y^{2} = 91} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 1} \\ {x^{2} + x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)^{2} = 91} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 1} \\ {3x^{2} - 3x - 90 = 0} \end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {x = 6} \\ {y = 5} \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 5} \\ {y = - 6} \end{array} \right.$

TH4: $\left\{ \begin{array}{l} {x - y = 91} \\ {x^{2} + xy + y^{2} = 1} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 91} \\ {x^{2} + x\left( {x - 91} \right) + \left( {x - 91} \right)^{2} = 1} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {y = x - 91} \\ {3x^{2} - 273x + 8280 = 0\left( \text{VN} \right)} \end{array} \right.$

Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: $\left( {4; - 3} \right);\left( {3; - 4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {- 5; - 6} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link