Cho phương trình $\left( {2x} \right)^{2} - x\left( {x + 4} \right) = - 1$a) Chứng tỏ phương trình có 2

Câu hỏi số 787660:

Thông hiểu

Cho phương trình $\left( {2x} \right)^{2} - x\left( {x + 4} \right) = - 1$

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức $A = x_{1}^{2} - \dfrac{4}{3}x_{1} - x_{2}^{2} + \dfrac{4}{3}x_{2} + \left( {3x_{1}.x_{2}} \right)^{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787660

Phương pháp giải

a) Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn.

Sử dụng $\Delta = b^{2} - 4ac$ để kiểm tra nghiệm của phương trình.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Thay tổng, tích vào A để tính toán dễ dàng trong quá trình biến đổi.

Định lí Viète: $x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a};x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$

Giải chi tiết

a) Ta có: $\left( {2x} \right)^{2} - x\left( {x + 4} \right) = - 1$

$\begin{array}{l} {4x^{2} - x^{2} - 4x + 1 = 0} \\ {3x^{2} - 4x + 1 = 0} \end{array}$

Ta có: $\Delta = \left( {- 4} \right)^{2} - 4.3.1 = 16 - 12 = 4 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, ta có: $x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 4}{3} = \dfrac{4}{3};x_{1}.x_{2} = \dfrac{1}{3}$

Ta có: $A = x_{1}^{2} - \dfrac{4}{3}x_{1} - x_{2}^{2} + \dfrac{4}{3}x_{2} + \left( {3x_{1}.x_{2}} \right)^{2}$

$= x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - \dfrac{4}{3}\left( {x_{1} - x_{2}} \right) + 9\left( {x_{1}.x_{2}} \right)^{2}$

$= \left( {x_{1} - x_{2}} \right).\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - \dfrac{4}{3}.\left( {x_{1} - x_{2}} \right) + 9\left( {x_{1}.x_{2}} \right)^{2}$

Thay $x_{1} + x_{2} = \dfrac{4}{3}$ vào A, ta được:

$\begin{array}{l} {\dfrac{4}{3}.\left( {x_{1} - x_{2}} \right) - \dfrac{4}{3}.\left( {x_{1} - x_{2}} \right) + 9\left( {x_{1}.x_{2}} \right)^{2}} \\ {= 9\left( {x_{1}.x_{2}} \right)^{2} = 9\left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} = 1} \end{array}$

Vậy $A = 1$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link