Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \dfrac{x + \sqrt{x} - 4}{x - 2\sqrt{x}} -

Câu hỏi số 800602:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \dfrac{x + \sqrt{x} - 4}{x - 2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $x > 0,x \neq 4$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9$.

2) Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$.

3) Tìm số nguyên dương $x$ lớn nhất để $\dfrac{A}{B} < \dfrac{1}{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:800602

Phương pháp giải

1) Thay $x = 9$ (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức $A$.

2) Quy đồng và rút gọn.

3) Cho $\dfrac{A}{B} < \dfrac{1}{2}$ để xác định $x$.

Giải chi tiết

1) Thay $x = 9$ (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta có:

$A = \dfrac{\sqrt{9} + 2}{\sqrt{9} - 2} = \dfrac{\sqrt{3^{2}} + 2}{\sqrt{3^{2}} - 2} = \dfrac{3 + 2}{3 - 2} = 5$

Vậy $A = 5$ khi $x = 9$

2) $B = \dfrac{x + \sqrt{x} - 4}{x - 2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $x > 0,x \neq 4$.

$B = \dfrac{x + \sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$B = \dfrac{x + \sqrt{x} - 4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$B = \dfrac{x - 4}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$B = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 4$

3) Ta có $x > 0$ nên $\dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} > 0$

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}:\dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ điều kiện $x > 0,x \neq 4$

$\dfrac{A}{B} < \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} < \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{1}{2} < 0$

$\dfrac{2\sqrt{x}}{2\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} - \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} < 0$

$\dfrac{2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2}{2\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} < 0$

$\dfrac{\sqrt{x} + 2}{2\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} < 0$

Vì $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $2\left( {\sqrt{x} - 2} \right) < 0$

$\sqrt{x} < 2$

$x < 4$

Kết hợp điều kiện ta có: $0 < x < 4$

Vậy số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn $\dfrac{A}{B} < \dfrac{1}{2}$ là 3.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link