Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\)

Câu hỏi số 807137:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(AA'\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B'D'\) và \(MN\) bằng \(m.a\) thì giá trị của \(\sqrt{17}m\) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:807137

Phương pháp giải

Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách đưa về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Giải chi tiết

Cách 1. Gọi \(P\) là trung điểm \(CD\), \(I = MP \cap AD\), \(J = IN \cap DD'\), \(K = AC \cap MP\).

Ta có \(MP{\rm{//}}BD \Rightarrow MP{\rm{//}}B'D'\)

\( \Rightarrow d\left( {B'D';MN} \right) = d\left[ {B'D';\left( {MNP} \right)} \right] = d\left[ {D';\left( {MNP} \right)} \right]\)

Lại có \(d\left[ {D';\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{{D'J}}{{DJ}}d\left[ {D;\left( {MNP} \right)} \right] = 5\).

Mặt khác \(d\left[ {D;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{{DI}}{{AI}}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{1}{3}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right]\).

Dễ thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {NAK} \right) \bot \left( {MNP} \right)\\\left( {NAK} \right) \cap \left( {MNP} \right) = AK\\AH \bot NK{\rm{ }}\left( {H \in NK} \right){\rm{ trong }}\left( {NAK} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = AH\)

Suy ra \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{5}{3}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{5}{3}AH\)

với \(AN = \dfrac{{AA'}}{2} = a\) ; \(AK = \dfrac{3}{4}\sqrt 2 AB = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{5}{3}AH = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{AN.AK}}{{\sqrt {A{N^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}\).

Cách 2. Đặt các trục \(Ox\), \(Oy\) và \(Oz\) vào hình như sau

Chọn \(a = 2\), ta có \(M\left( {1;2;0} \right)\), \(N\left( {0;0;2} \right)\), \(B'\left( {0;2;4} \right)\) và \(D'\left( {2;0;4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {B'D'} = \left( {2; - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {MB'} = \left( { - 1;0;4} \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} } \right] = \left( {4;4;6} \right)\).

Khi đó \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D'} } \right].\overrightarrow {MB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D'} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).4 + 0.4 + 4.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{10\sqrt {17} }}{{17}} = \dfrac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}\).

Suy ra \(\sqrt{17}.m = 5\)

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.