Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = 2^{x^{3} - x^{2} + mx}$ đồng biến trên

Câu hỏi số 816388:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = 2^{x^{3} - x^{2} + mx}$ đồng biến trên $\left\lbrack {1,2} \right\rbrack$.

A. $m > \dfrac{1}{3}$.

B. $m \geq \dfrac{1}{3}$.

C. $m \geq - 1$.

D. $m > - 8$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816388

Phương pháp giải

Công thức cần dùng:

${(a^{u})}' = u' \cdot a^{u} \cdot \ln a.$

Các bước giải:

Bước 1: Tính đạo hàm $y'$.

Bước 2: Đặt điều kiện cho đạo hàm. Hàm số đồng biến trên $[1, 2]$ khi $y' \geq 0,\forall x \in \lbrack 1,2\rbrack.$ Vì $2^{x} - \ln 2^{x} > 0,$ điều này tương đương với $g(x) = - 3x^{2} + 2x + m \geq 0,\forall x \in \lbrack 1,2\rbrack.$

Bước 3: Cô lập $m$ và tìm GTNN.

Chuyển bất phương trình về dạng $m \geq - 3x^{2} + 2x.$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $h(x) = - 3x^{2} + 2x$ trên đoạn $[1, 2].$

Điều kiện cuối cùng là $m \geq \max_{\lbrack 1,2\rbrack}h(x).$

Giải chi tiết

Ta có $y' = \left( {3x^{2} - 2x + m} \right)2^{x^{3} - x^{2} + mx}\ln 2$.

Hàm số đã cho đồng biến trên $\left. \left\lbrack {1,2} \right\rbrack\Leftrightarrow y' \geq 0,\,\,\forall x \in \left\lbrack {1,2} \right\rbrack\Leftrightarrow 3x^{2} - 2x + m \geq 0,\,\,\forall x \in \left\lbrack {1,2} \right\rbrack\,\,(*) \right.$

Vì $f(x) = 3x^{2} - 2x + m$ có $a = 3 > 0,\,\, - \dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{3} < 2$ nên

Trường hợp 1: $\Delta' \leq 0$ thì $f(x) = 3x^{2} - 2x + m \geq 0,\forall x$

$\left. \Rightarrow 1 - 3m \leq 0\Rightarrow m \geq \dfrac{1}{3} \right.$

Trường hợp 2: $\Delta' > 0$ phương trình có 2 nghiệm sao cho:

$\left. (*)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\Delta' > 0} \\ {\dfrac{x_{1} + x_{2}}{2} < 1} \\ {\left( {x_{1} - 1} \right)\left( {x_{2} - 1} \right) \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {1 - 3m > 0} \\ {\dfrac{1}{3} < 1} \\ {\dfrac{m}{3} - \dfrac{2}{3} + 1 \geq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow m \geq - 1 \right.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.